접선의 방정식 질문이요..
어떤 삼차함수 f(x) 의 그래프 위의 점 x=1에서의 접선을 g(x)라고 할 때
f(x)-g(x)=h(x)=0 으로 두면,
h(x)가 필연적으로 (x-1)2을 인수로 가지게 되는
수식적 혹은 논리적인 이유가 궁금합니다!!
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다항함수 h(x)가 h(1)=0이고 h'(1)=0인 필요충분조건이 (x-1)^2을 인수로 가지는 거예요. 후자에서 전자로 가는 거야 자명하고, 전자에서 후자로 가는 건 h(1)=0이고 h(x)가 다항식이므로 h(x)는 (x-1)을 인수로 가지는데 h(x)=(x-1)j(x) (j(x)는 0이 아닌 다항식)이라 하면 h'(x)=j(x)+(x-1)j'(x)이고 h'(1)=0이므로 j(1)=0. 나머지정리에 의하여 j(x)는 (x-1)을 인수로 가지고, j(x)=(x-1)k(x) (k(x)는 0이 아닌 다항식)이라 하면 h(x)=((x-1)^2)k(x) 따라서 h(x)는 (x-1)^2을 인수로 가집니다.
일반적으로 다항함수 f(x)의 x=a에서의 접선을 g(x)라 하면 f(x)-g(x)는 (x-a)^2을 인수로 가집니다.
정성스런 답변 감사합니다^^ 완전 해결됐어요!
h(1)=0 , h'(1)=0
f(x)의 최고차항 계수를 계산하기 쉽게 1로 놓고
h(x)=(x^2+ax+b)(x-1)
이라 둔 후 h'(1)=0 을 이용하면 b=-a-1 입니다.
저걸 다시 h(x)에 대입해서 인수분해 하면 (x-1)^2을 인수로 가지는 식이 나옵니다.
감사합니다! 느낌만 있고 수식으로 표현이 어려웠는데..^^