Geometry of being Amenable
Let $M_1$ be a complete Riemannian manifold with Riemannian covering $M_2\to M_1$ such that $M_1$ has a finite topological type, i.e., homotopy equivalent to a union of finitely many CW complexes. (manifold with finitely generated fundamental group for example.)
Theorem. If $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$ is amenable, then $\lambda_0(M_2) = \lambda_0(M_1)$.
Group이 amenable하다는 것은, 여러가지로 정의할 수 있는데, 이렇게 기하학적인 상황을 상정한다면, 가장 좋은 정의는 다음과 같다: In other words, there exists finite exhaustion subset $E_i$ of $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$ such that
$${\#(\partial E_i)\over \#(E_i)}\to 0,\quad\text{as }i\to \infty.$$
여기서 $\partial (E_i) = \{g\in E_i\mid g_j\cdot g\notin E_i\text{ for some }j\}$ 으로, $E_i$의 "boundary"에 해당된다. (Cayley graph에서는 진짜 boundary가 된다.)
Theorem을 증명하기 전에 여기서 $\lambda_0$는 Riemannian manifold위에 laplace-beltrami operator $\Delta$의 bottom eigenvalue에 해당된다. 이러한 $\lambda_0$ 값이 다음의 값과 같다고 알려져 있다:
$$\lambda_0(M) = \inf_f{\int_M\parallel df\parallel^2\over\int_M\parallel f\parallel^2}$$
여기서 $f$는 compactly supported smooth function on $M$을 말한다.
이제 이 두 사실을 이용해서 다음을 증명한다:
Proof. 일단 $M_1$의 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$의 finite sided fundamental domain $F$를 고른다. 그리고 $g_1,\ldots,g_k$를 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$의 generator들로 잡는데, 두개의 $F$의 copy들이 $\partial F$에서 겹치도록 $M_1$에서 나타나면 $g_i$의 원소들 중 하나가 하나의 $F$에서 다른 하나의 $F$로 옮기는 성질을 갖도록 한다. (이렇게 설명하니까 괜히 복잡한데, 쉽게 hyperbolic manifold의 세팅에서는 $F$는 Dirichlet domain들에 해당되고, $g_i$들은 그 domain을 형성할 때 사용되는 generator라고 생각하면 편하다.)
이제, $M_1$의 compactly supported smooth function $f$를 잡고, $\mathrm{supp}(f)$를 $F$로 lift를 시키자. 그리고 $\epsilon>0$을 충분히 작게 잡아서, 모든 $x\in\mathrm{supp}(f)$의 $\epsilon$-ball은 최대 $\partial F$의 component를 한번만 만나도록 한다. 그러면 이러한 가정에 의해서, 만약 $F_i = \bigcup_{g\in E_i}gF$ 라고 한다면,
$$x_i^\epsilon = \begin{cases} 1 & \text{if }\mathrm{dist}(x,\partial F_i)>\epsilon,\\ {1\over\epsilon}\mathrm{dist}(x,\partial F_i) & \text{o.w.} \end{cases}$$
는 잘 정의된 smooth function이 된다. 이제 $f$를 $M_2$로 lift를 하면, $f_i = x_i^\epsilon\cdot f$는 $M_2$의 compactly supported smooth function이 된다. 이제
$${\int_{M_2}\parallel df_i\parallel^2\over\int_{M_2}\parallel f_i\parallel^2}$$
를 계산하는데, 값을 구해보면, 만약 $A_i = \#(E_i), B_i = \#(\partial E_i),C_i = A_i - B_i = \#(E_i-\partial E_i)$라고 한다면, 분모는 $\geq C_i\int_{M_1}|f|^2$이고, 분자는 Schwartz inequality에 의해서
$$\leq{1\over\epsilon^2} B_i\int_{M_1}|f|^2+C_i\int_{M_1}\parallel df\parallel^2+{1\over\epsilon}B_i\left(\int_{M_1}|f|^2\right)^{1/2}\left(\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\right)^{1/2}$$
가 된다. 따라서 계산하려는 식은 다음의 값으로 bound가 된다:
$$\leq {\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\over\int_{M_1}|f|^2}+{B_i\over C_i}{1\over\epsilon^2}+{B_i\over C_i}{1\over\epsilon}\left({\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\over\int_{M_1}|f|^2}\right)^{1/2}$$
가 된다. $E_i$의 성질에 의해서, $B_i/C_i\to 0$가 되고, 따라서 첫번째 텀 말고는 전부 죽는다. 따라서 $i\to\infty$로 해서 $E_i$가 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$가 되도록 하면, $f_i$는 $f$로 수렴하고, 따라서
$$\lambda_0(M_2)\leq\lambda_0(M_1)$$
이 성립한다. $\geq$는 항상 성립한다고 알려져 있으므로* $\lambda_0(M_1) = \lambda_0(M_2)$가 된다. $\square$
*는 임의의 complete Riemannian manifold의 $\lambda_0$를 positive $\lambda_0$-harmonic function으로 represent될 수 있고, 임의의 positive $\lambda$-harmonic function은 항상 $\lambda_0\geq\lambda$가 된다는 성질로부터 나온다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
요즘 경제 지문만 본 기분이라 법 공부 건너뛰고 과학 인문 예술 기술 경제만 파도 되나
-
뭔가 다 무난한 느낌인데 나만 그런가
-
입학처에서 논술러 전화돌려서 출제보조? 모집중이네 7박8일 합숙하고 유고결석...
-
난 왜 본 적이 없지.. 풀다가 띵가먹었나
-
133일차
-
카페인때려박아도 8
계속졸려 우으으 스탠딩 책상 없는데..
-
나만그럼?
-
끝도없이 떨어지는 국어점수 시밯
-
an을 (2n+1)/2 파이 로 두고 해서 한참 헤맸는데 위의 값으로 근사시키면...
-
피스파이스 과제 족보 답 구합니다.. 사례할게요
-
나 진짜 ADHD맞나봄 20
쉴때도 뭐 하나 진득히 하는게 아니라 10초 만화보다가 10초 커뮤보다가 1분...
-
3합4 맞추고 메디컬 가기 성공ㅋㅋㅋ 수학 진짜 일요일 빼고 최소 4~5시간 공휴일...
-
# 개인 기록용이며 계속 업데이트될 수 있으니 참고만 하세요. 시대인재 브릿지,...
-
수능 기출 어법 문제집 중에서 어법 종류별로 분류되어 있는 게 아니라 그냥 시험에...
-
You wanna? You wanna? You want a 1등급? You want...
-
이매진 핫백 페이지가 400 가까이 되는것 같던데 혹시 해설지 분권 되어 있나요?
-
1-2년전만해도 이러지 않았던것같은데 커피없으면 살아갈수가 없음
-
각각 15살과 19살이였음 그런 시절이 다시 올까
-
책읽어야지 0
전쟁/군사 서적으로 낙점 1950~1953
-
뭐 그럼 나쁘진 않긴 한데 그 감성이 없다 아입니까
-
듣기 6번 4
난 분명 개 입장료를 15로 들었을텐데 뇌가 무의식적으로 편견을 가진건지 5라고...
-
이것땜에 에어팟이 잘 안들어가서 쑤셔박다가 상처나서 귀 자주 아프고 서럽네 걍...
-
감독관 분들에게 사전 공지가 제대로 안 되고 소통도 잘 안 되는 듯 했음… 수험생들...
-
아니 ㅅㅂㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
10모 211(수학 영어 지구) -> 2합 5 가능? 4
제가 6모까지 2합 5를 맞춘적이 없는데 9모 땐 223이 나왔고 이번 10평때는...
-
학원에서 응시중인데 수학 너무 못봤네 이정도면 수능기준 1컷 88또는 그 이상일듯
-
심특은 뉴런 어려운 버전인가요
-
기분 좋음
-
그거 찍어서 커뮤에 올렸다고 고소가 가능한거임?혹시 머 해킹해서 빼돌린게 있나.
-
95min 88점 (-15 -22 -30계산실수 ) 이게 왜 1컷이 80점인지...
-
알바가기 싫다 6
-
10모 영어 1
쉬운편?
-
연세대 '논술 유출' 수험생, 집단소송 준비..."효력 정지 신청" 1
[앵커] 연세대학교 수시모집 논술시험장에서 시험 문제가 사전에 유출됐다는 논란이...
-
연대를못가서울엇어
-
생윤 질문 2
이거 왜 2번이 아닌지 설명해주실분… 답 1번입니다
-
걍 싸구려 헤드셋 쓸까.짜증나네.
-
삼각함수 도형 활용문제를 준킬러급으로 한번도 안냄 작년까지만해도 69수능 쭉...
-
오히려 소셜미디어 자체를 많이 안하게되려나
-
팩폭 부탁드려요 훈수 환영 늦깎이 N수생(feat. ADHD) 2
오랜만에 수능을 준비하게된 20대 중반입니다 저는 성격이 경쟁과 눈이 보이는 보상이...
-
뭐냐뇨이
-
9모 잘본줄알았는데 실채점 나오니 좆망 10모 커리어하이 수능 10모보단 떨어졌지만...
-
지금 정승제T 커리랑 현우진T 커리 고민 중인데.. 시발점은 내신용 내용이 많아서...
-
아들,시어머니 둘 다 귀속지위 아닌가요?? "아들은 시어머니와 달리 귀속지위에...
-
오늘 200번까지 풂...
-
성공하셨군요 쌤,,
-
-
안녕하세요 이번엔 국어로 돌아왔어요 우선 저는 작수 화법과 작문 백분위 98, 올6...
-
수능 최저 2합 7 맞추는 사람인데 9모는 수학3 영어1 국어4 이고 10모 수학...
-
어떨 것 같나요
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.