칼럼13) 역효과

매개변수 문제를 엄청 많이 풀다보면, 굳이 새로운 문자를 잡지 않아도 되는데 습관적으로 잡고 있는 자기 모습을 발견할지도 모릅니다. 

이러한 '역효과'를 방지하게 위해 이번 칼럼을 준비했습니다.

아직 공부가 부족해서 매개변수 문제에서 문자가 헷갈리는 분들께도 도움이 될 것 같네요. 

두 가지 상황을 다뤄보겠습니다.

1. x좌표 함수의 미분계수를 물어볼 때

우선 가벼운 예시를 통해 감을 잡아볼게요.

그렇게 퀄리티 있는 문항은 아니라서 미리 풀어보실 필요는 없습니다. (방금 급조했어요)

먼저 f(x)를 그려볼게요.

이렇게 둘을 각각 그린 뒤에 더해주면 되므로

빨간 곡선처럼 그려지겠죠. 

t와 g(t)는 다음과 같이 좌표로 정의됩니다. t=e+2라면 g(t)=1이겠네요. 

g(t)를 가볍게 a 정도로 치환해서 

다음 식을 작성한 뒤에 t에 대해 미분해주고, a=1 넣으면 답이 나오겠죠.

그런데 사실 a는 잡을 필요가 없었던 문자입니다. 이 경우에는 상황이 간단해서 새로운 문자의 도입이 크게 부담되지 않지만, 복잡한 문제를 풀 때 이렇게 했다간 불필요하게 사고 길이를 늘리는 셈이 돼요.

왜 a가 필요하지 않냐면, 여기서 g(t)는 그냥 역함수기 때문입니다. 이 문제는 f(x)의 1에서 미분계수를 구한 뒤에 역수 취해주면 끝이에요. 

1에서의 미분계수는 e+4이므로 답은 그 역수인 1/(e+4)입니다.

뭐 별 차이 없는 거 아닌가 느끼실 수도 있어요. 다음 기출 문제를 보시겠습니다.

상황을 정리하자면, 

다음과 같이 x좌표 함수 g(t)와 f(t)가 정의된 겁니다. 구하는 값은 h'이네요.

t=5일 때 f(t), g(t). t는 아는 값입니다. 

f'(5)와 g'(5)를 구해야 해요. 

구해야 하는게 두 개고, f(t)를 a 따위로 치환하여 계산해갈 때도 헷갈릴 여지가 있습니다. 이 중에 x좌표가 제일 큰 놈...제일 작은 놈... 선택을 해가며 풀어야 하기 때문이죠. 

이 문제도 결국 처음에 보여드린 예시랑 똑같습니다. 그냥 미분 계수 구한 뒤에 역수 때리면 돼요! 이 마인드를 가지고 접근하면 해야 할 일이 명료해집니다. 

 f(5)=3, 삼차함수의 3에서의 미분계수: 24 따라서 f'(5)= 1/24 

생각 몇 번 거치지 않고 답이 나옵니다. 

같은 방식으로 g도 계산해주면 답이 4번이 나옵니다.

2. x좌표가 표현될 때

우리가 x좌표를 a, f(t) 따위로 잡는 이유는 표현하기가 어려워서입니다. 그런데 만약 표현이 된다면, 굳이 새로운 문자를 도입할 필요가 없어요. 충분히 현재 상황에서 표현이 가능한데, 새로운 문자를 잡으면 오히려 돌아가게 될 수 있어요. 이것과 관련된 기출 문제가 있습니다.

22학년도 6월 30번이에요. (21년도 시행) 

열심히 연립하고 계산하면 그냥 f(t)가 t에 대해 표현이 됩니다. 

그런데 매개변수 문제를 너무 많이 풀어서 기계적으로 f(t)=a라 잡은 뒤에 풀이를 시작했다면... 풀리긴 풀리지만 훨씬 길고 험난한 길이 펼쳐집니다.  

오히려 매개변수를 아예 생각하지 않은 분들이 아무 고민 없이 빨리 끝냈겠네요.

수능은 늘 생각해가며 풀어야 한다는 점을 다시 한 번 상기시켜주는 문제입니다.

답은 11입니다. 많이들 풀어보셨을 거 같아서 여기선 다루지 않을게요.

준비한 내용은 여기까지입니다. 오랜만에 올리는 칼럼이라 가벼운 걸로 준비해봤어요. 

엊그제 올린 투표 결과를 보니 삼각함수 그래프, 미적분 극한, 함수관찰 등이 수요가 많네요. 조만간 왕창 올릴게요 ㅎㅎ

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