칼럼11) 안 소소한 테크닉

이번꺼는 소소하지 않습니다. 어렵거나 복잡해서 그런게 아니라, 중요한 관점이라서 말이죠. 매우 유용할겁니다 ㅎㅎ

수2와 미적분에서 둘 다 사용되는 개념입니다.

혹시 미적 선택자가 아니거나 아직 미적분 공부를 안 하셨는데 내용이 궁금하시다면 칼럼 맨 아래를 참고하시면 되겠습니다. 끝부분은 같은 내용을 수2 버전으로 다루고 있습니다.

알고 있는 얘기부터 시작해보겠습니다.

이럴 때에는 f(x)는 고정한 뒤에 상수함수 y=m을 움직여가면서 관찰합니다.

이럴 때에는 직선 y=mx에서 기울기를 빙글빙글 돌려가며 관찰해주구요,

이럴 때에는 이차함수를 파닥파닥거리면서 관찰하죠.

때에 따라 상황을 맘대로 바꿔버리기도 합니다.

풀진 않을건데, 아래 문제로 예시를 들어볼게요.

ebs 문제인데요 이 문제가 딱 그러하죠. a를 바꿔줘가면서 확인을 해줘야 하는데, 이걸

이렇게 써서 이차함수 그린 뒤에 삼차함수를 파닥거릴수도 있구요

이렇게 써서 오른쪽 함수 그린 뒤에 y=a를 위아래로 움직여줘도 되겠죠. 

이렇게 할 사람이 있나 싶긴 합니다만 이것도 되긴 되죠 ㅋㅋㅋ

오른쪽 함수 그린 뒤에 a값을 바꿔가며 직선을 빙글빙글 돌려줘도 됩니다.

혹 풀어본 분들을 위해 답 말씀드리자면 

이 나옵니다.

주목할 점은 이겁니다. 필요한 만큼을 곱해주거나, 나눠줘서 자신이 원하는 형태로 식을 바꿔주는거죠. 목적은 관찰하기 쉬운 형태로 바꾸거나, 계산을 쉽게 하는 것에 있습니다.

원하는 만큼을 곱해주거나 나눠준다는 것을 다음과 같이 활용할 수도 있습니다. case 2개를 보여드릴게요.

case 1.

이걸 계산하는 상황에서 저 왼쪽 놈을 미분하자니... 머리가 아프죠. 이때 이렇게 할 수 있습니다.

와! 계산이 아주 쉬워져요.그림으로 그려서 상황 관찰하기도 수월합니다. 그림 상황에서 이차함수를 더 낮춰서 딱 접하게 되는 상황이 원하는 상황이네요. 

계산은 간단히 마무리됩니다.

이건 양변에 x를 곱해줘서 계산을 편하게 한 상황이죠. 또 다른 경우를 보겠습니다.

case 2.

그림처럼 직선과 곡선이 접하는 경우의 a값을 구하는 상황입니다. 

계산량이 꽤 있어보입니다. 식을 변형해줍시다.
상황을 그림으로 그려보자면...

이건 머 암산도 되겠네요. a는 -1/e입니다.

두 번째 케이스에서는 양변에 x를 나눠주었습니다.

지금 본 두 케이스를 통합해보면 다음 결론이 나옵니다.

적당한 인수를 곱하거나 나눠서 상황을 단순화시킬 수 있다! 계산을 가볍게 해주거나, 관찰하기 쉽게 해준다.

맨 처음에 소개드린 것도 사실 같은 원리입니다. 한편, 주의점이 한 가지 있습니다. 다음 예시를 보시겠습니다.

0에서 접한다는 사실이 유지가 안 되어버리죠? 왜 이런 일이 발생한 것일까요. 앞선 사례에선 왜 이런 문제가 생기지 않았을까요? 

생각보다 이유는 아주 단순합니다. 관찰하는 곳의 인수를 날려버려서 그래요. 0근처를 관찰하고 싶었던 상황에서 0근처에 조작을 가해버리면 당연히 식이 바뀌겠죠. 앞선 두 예시에서는 0을 관찰하고 있는게 아니었기 때문에 x를 곱하거나 나눠줘도 문제가 없었던 것입니다. 

즉, 관찰하는 곳 외의 부분에 적당한 인수를 곱하거나 나눠서 상황을 단순화시킬 수 있다! 계산을 가볍게 해주거나, 관찰하기 쉽게 해준다.

라고 해야 완전해지겠네요.적당한 인수를 곱해준 곳 외의 부분은 접하거나 만난다는 성질이 유지됩니다. 예를 들어 

여기서 x를 나눠줬잖아요? 0근처의 상황은 변했으나 그 외 접점인 1의 상황은 변하지 않습니다.

다항식의 버전을 보면 이 원리가 더 잘 와닿을 겁니다.

그려 보자면 이런 상황인거죠.관심있는 부분(접점)이 3이 아니므로 x-3를 날려버리겠습니다.

역시 그림으로 그려보자면

이렇게 그려지며, m=-4임이 보이네요. 또, 접점의 x좌표는 2인 것까지 바로 보입니다. 나머지 한 근이 -1인 것도 보이네요! 3근처에 조작을 가해줬으니 3외의 접점들은 모두 x좌표가 유지됩니다.

사실은 이 과정이 말이죠

위와 같이 식을 넘긴 뒤에 인수의 관점으로 해석한 거랑 똑같은 거에요. 이렇게 보니 원리는 매우 간단하다는 걸 알 수 있죠! 

다양한 상황에서 유용하게 쓰이는, '소소하지 않은' 테크닉입니다. 전 다음에 또 좋은 칼럼과 자작문제로 찾아뵙겠습니다. 좋아요와 팔로우 부탁드려요. 감사합니다 ㅎㅎ