칼럼10) 소소한 테크닉
나름 알려진 편이고, 은근히 유용하며 개념적으로도 의미가 있는 '소소한' 테크닉 하나를 소개해드릴까 합니다.
이미 알고계신 것도 있을 거고, 아마 처음보는 것도 있을거에요!
이는 e^x의 재밌는 특징에서 시작됩니다.
y=e^x는 도함수가 e^x이죠. 원함수와 도함수가 식이 같다는 겁니다. 즉, 원함수의 함숫값이 그 점에서의 미분계수인 셈이죠. x=a에서 함숫값은 e^a, 미분계수도 e^a일겁니다.
기울기가 e^a라는 것은, x축으로 1 이동할 때 y축으로 e^a만큼 이동한다는 뜻이죠. 그런데 마침 이 지수함수 위의 점(a,e^a)는 함숫값이 e^a네요.
여기서 다음 사실을 알아낼 수 있습니다.
e^x 위에 점 (a, e^a)에서의 접선은 x절편이 a-1이겠네요!
이걸 뒤집어서 말하면, (b,0)에서 y=e^x로 접선을 그으면 접점은 x좌표가 b+1인 곳에서 생긴다는 겁니다. 기울기는 e^(b+1)이 되는 것이구요.
y=e^x 뿐만 아니라 얘가 평행이동되었을 때도 마찬가지입니다. 그 함수의 점근선 위의 점에서 접선을 날렸을 때 접점은 x좌표가 1 큰 곳에서 생깁니다.
아래 문제에 적용해보겠습니다.
기출 문항입니다. 이미 다들 잘 알고 계실 것 같습니다.
최대인 순간은 바로 나오지 않아서 계산을 좀 해줘야 하지만, 최소인 순간은 분명하죠. 기울기인 양수 a가 최대인 순간과 y절편인 음수 b가 최소인 순간이 일치하는데, 다음과 같이 양쪽에 동시에 접할 때입니다.
(그림 출처: ebs)
일단 대칭에 의해 x절편이 3/2인 걸 캐치한 상황에서, 접한다는 정보를 이용해 a를 구해야 합니다. 이때 앞서 알려드린 소소한 테크닉을 이용해볼게요. 그림에서 표시된 t가 3/2보다 1만큼 큰 5/2겠죠. x=5/2일 때 f(x)의 함숫값은 루트 e입니다. 따라서 이 순간에 a는 루트e네요.
물론 s를 이용해서 구하셔도 됩니다. s의 경우에는 x좌표가 1/2이 되겠죠. g(1/2)= -루트e니까 기울기는 루트e여야겠지요. (g(x)는 아래로 그려진 상황이니까 -부호를 빼줘야 합니다.)
어찌됐건 직선을 이렇게 완성할 수 있겠습니다. 훨씬 간편하죠!
평행이동뿐만 아니라 확대축소됐을 때에도 이런 정보를 뽑아낼 수 있습니다.
이 함수의 경우에는 x축 위에 (a,0)에서 접선을 날렸을 때, 그보다 x좌표가 1/5만큼 큰 
이 점에서 접점이 생기겠죠. 함수가 5배 축소되었으니 앞서 말씀드린 1차이난다는 경향성도 5배 축소하여 1/5이 되었다고 생각하시면 되겠습니다. 주의할 점이 있다면, 이때는 미분계수도 5배를 해줘야 하겠네요. 그래서 식을
다음과 같이 써낼 수 있습니다. 근데 이건 실수 가능성도 있어보이니(???: 아 ㅆ 5배 안했다) 이건 검토용으로 사용하시면 좋을 것 같습니다.
이 특징은 y= lnx 에서도 당연히 읽어낼 수 있겠죠. 대신 1 차이 난다는게 x축이 아니라 y축의 얘기로 바뀝니다.
e의 x승 놈을 뒤집은 거로 봐도 괜찮고, lnx의 도함수가 1/x이란 것에 착안하여 기울기 해석을 하셔도 됩니다. (기울기가 1/m라는 것은, x축으로 m 증가할 때 y축으로 1 증가한다는 뜻!)
한편, 다음과 같은 의문이 드실 수 있습니다. "왜 하필 e^x에서만?"
적절한 의문이죠. 사실 이 얘기는 모든 지수함수에 대해 가능합니다.
얘도 원함수와 도함수가 상수배 차이나는 꼴이므로 다음 정보를 이끌어낼 수 있습니다.
a=e일 때는 저 차이가 1이 되었던 거죠.
준비한 내용은 여기까지입니다. 원함수와 도함수가 관계되어있다는 지수함수의 성질을 이용한 재밌는 해석이었다고 생각합니다. 앞으로도 재밌는 칼럼과 자작문제 많이 보여드리겠습니다. 유익했다면 좋아요 부탁드리고, 팔로우 해두셔서 꼭 확인해보세요!
0 XDK (+1,000)
-
1,000
-
오르비 설문조사 0
수능 두 번 더 보면 의대 확정이 된다고 하면 오르비언들은 수능 두 번 더 ㄱㄴ?
-
나도 물리하지만 디시 상태가 너무 안 좋네
-
문제 풀때 좀 시간이 부족해서,, 그냥 안하는게 좋을까요?
-
제가 겨울방학때 대성인강끊고 김승리들을껀데 고1모고 4~5인데 올오카 독서 문학...
-
질받 2
심심해요오...
-
너무 우울하다 0
수능이 4일 남았는데 실력은 처음 수능 준비했을때랑 다른게 없음 그리고 막판에 치는...
-
작년 문과 중에 원광치 발작버튼 있는 사람 나 말고도 있을 듯 4
내 것은 아니지만 발작버튼은 맞음 있으면 손들어줘
-
그러합니다(아 '-데'는 해체임) 참고로 '나랑드사이다'의 '사이다'가 저...
-
D-5라 씹덕똥글 적긴 먼가 눈치보임........ 7
전력을다해 참는중
-
1. 실질적 법치주의는 법규범의 절차적 정당성이 아닌 내용적 정당성을 강조한다....
-
동사 하는 분들 1
님들이 알고있는 지엽적인 내용들 뭐뭐 있어요? 공유 좀 해주세요! 저는 남송 때...
-
궁금해요
-
시간 부족해서 문학 썰렷노 ㅜ
-
민초 투척
-
아니면 둘다이려나
-
계란 먹을까말까 5
다이어트 중인데 계란 편의점 달려가서 삶은 계란 먹을까 말까 저녁은 닭가슴살...
-
다들 언매 공부 어케해요? 저는 기출풀때 한 20분 걸리는것같음… ㅠㅠ 그리고...
-
한번만... 한번만 더 하면 진짜 만점받을 수 있을거같아 3
삼수를해서라도서울대에가라
-
난 어짜피 최저러라서 다른사람 멘탈 다 터트리고 혼자서 고고히 수학 1을 찍을것이기...
-
내일 풀려고 하는데 등급컷이 어디 나와있는지 몰라서ㅠ 언매 확통 생윤 윤사만 알면 됩니당!!
-
범준t 일욜반은 0
수2부터하나요? 얼핏들엇덩ㄴ것같은데
-
모든합 진짜 ㅆㅃ 10
뭘 못찾은건지도 모르겠네
-
후자가 더 나을까요? 다 안봤다는 불안도 있긴한데 냉정하게 지금은 후자가 맞는거 같은느낌 수탐기준
-
약대 수의대가 한의대보다 가기 힘든 듯? 하...
-
오늘의공부 2
국어 과학 연계 a+다 쳐내기 지문 읽고 이승모교재벅벗 수학 철맞이(사망)/서바...
-
45의 제곱은 2025다ㅇㅇ
-
화독문인데 1
화작이 그 시험의 컨디션을 결정하는거같음.......먼저푸는걸 잘해야 다음꺼에 맘이...
-
생윤 특 2
2번 선지가 ㄱ, ㄹ이면 정답일 확률 90%이상
-
복학해서 임용치고 교사하면 그만이야ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
댓글로 남기기 좀 그런 것들은 오픈채팅으로 주시면 감사하겠습니다 시간 날 때마다...
-
그래서 의머생 수능 기 불어넣어줌 수능 코앞인 거 체감 ㅈ되네ㅋㅋ
-
사문 질문 1
사회운동에서 특정집단만의 권리 보장을 요구하는것은 사회운동으로 볼 수 없다. 맞나요??
-
수능만끝나라
-
수시, 정시 둘다 대비로 수1,2 겨울방학동안 하려하는데요 저희 학교는 1학기 수1...
-
군수라 그런 듯?? 사실 적은 나이도 아니고 횟수로는 4수지만 사실은 미필 재수였던...
-
전글: https://orbi.kr/00064278177 오르비의 메인에 해당하는...
-
나는 실모벅벅하다가 뇌가 노릇노릇하게 타버린 기분이야 응애계산다틀려살려조
-
방t강의보다 강의수가 너무 차이나던데요 모자람없이 갈수있나요???
-
정진짜 1
정가짜
-
은둔고수들 대거출몰
-
애니 추천 받아요 37
머리아파서 공부가 안댐.. 선정되면 5천덕
-
(가)(나) 복합으로 나올것. 이 글은 성지가 됩니다
-
놀고왔다 3
인싸체험도 좋구만..
-
최근 평가원 성적 인증해달라 해서 9모로 했는데 만점이 백분위 99인가요?...
-
6모때 감각적 직관 믿고 케이스 찍기로 밀었다가 88맞았는데 9모때 듣는 쌤이...
-
진짜로?.???.??.?...???.?.??.???.?.?.?..???
-
두날개 다풀었다 8
-
현장에서 풀때 빡셌ㅈ겠죠
-
N>=4 특징 7
연계공부 하나도 안했는데 다 아는 작품들임
-
미적3점 0
미적 3점운 실모로 하고 4점은 서킷으로 커버가능할까요
오늘도 개ㅊ를 벅벅
오우쉣
ㄷㄷ
무슨 말인지 이해 못하는 문돌이들 개추 ㅋㅋㅋ
무민귀여워요
으악 미적이다
으악악
아니 ㅅㅂ 이게 뭐지.,?