[수능의 기준] 시험은 절대 내가 모르는 것을 묻지 않는다

좋은글 감사합니다

감사합니다. 공부 방법에 대한 확신을 얻고 갑니다.

일단 3차함수와 4차함수의 개형을 각종 교재에서 다루던 것은 이 수능문항 이후의 일이 절대 아닙니다.
3, 4차함수 개형 종류는 7차로 개정된 직후에 나온 2005년판 실력 수학의 정석에서도 다루는 내용이고요.
그리고 그렇게 세세하게 나누는 것이 더 부각된 된 문제는 2011 수능 문제가 아니라,
그 전해의 2010년 6월 평가원 수리가형 24번 문항입니다.

그러면 작성자님은 2010년 6월 수리가형 24번을 전면부정하시는 얘기겠죠? 이건 W자형으로 절대 안풀리니깐요.

자 그러면 2013년 수리가형 20번을 한번 교과과정으로 풀어보세요.
아시겠지만 정사면체의 공식은 교과서에서 다루지 않습니다.
그런데 이것은 정사면체의 높이 공식을 모르면 풀 수 없습니다.
이 정사면체 공식을 부각시켜준 문제는, 2009년 9월 평가원 12번 문항입니다.

따라서 평가원에 나온 지식은, 언제든지 수능에 재출제 될 수 있는 개념이란 것을 알아야합니다.

2013년 가형 20번문제 정사면체의 공식을 몰라도 평면의 법선벡터와 삼각형의 무게중심을 지난다는 것만으로도 풀 수 있지않나요?한 꼭짓점에서 수선을 내라면 밑면 삼각형의 무게중심을 지난다. 이거와 평번의 법선벡터로 직선의 방정식을 세워서 풀 수 있는 문제예요.그 문제를 여러번 풀어보는데도 정사면체의 공긱을 사용한적이 한번도 없네요. 굳이 사용한것이라면 정사면체의 한 밑면과 붙어있는 다른 한 평면이 이루는 Cos 값이 1/3 이란것밖에는..이것만 알고 삼각비만 알고잇어도 충분히 풀 수 있는 문제였다고 생각해요.

네 그러니깐요.
높이 구하는 문제가 아니고 한 변의 길이 구하는거잖아요.
h = a√6/3 이거요.

만약에 이 분이 쓴 글 그대로, 교과과정으로만 풀어야한다면
cos 세타가 1/3 쓰는 것도 전면 부정이구요.

작성자님 주장대로라면
정사면체 다 그려서 한변의 길이 a라고 두고
한 정점에서 무게중심까지 거리 구하고
피타고라스의 정리써서 높이 구해야겠죠.

근데 그것보다 이미 2009년 9월 평가원 12번문항에 정사면체의 공식을 활용해서 푸는 것이 나왔으므로, 학생들이 다 알거라고 생각하고 냈다는 게 더 합리적이지 않나요?

저도 막 쓸데 없는 거 다 알라는 게 아닙니다.
저도 가장 기초적인 문제해결 방식으로 문제를 풀어야한다고 주장하는 사람입니다.
수능은 천재뽑는 시험도 아니고 경시대회도 아닙니다.
가령 저는 벡터문제에서 절대 체바의 정리나 메넬라우스 쓰면 안되다고 주장하는 사람입니다.

그러나 교과서만으로 모든 게 다 해결된다라는 주장.
이건 정말 말도 안되는 주장이라고 생각합니다.

적어도 평가원에서 나왔던 개념이나 문제풀이 방법은 정확히 이해하고 있어야합니다. 그런데 이 글은 2010년 문항에 대해서 정확히 알지도 못하면서 쓴 글인 것 같아서 비판하는 거구요.

수학뿐만 아니라, 예전에 D 학원의 모 물리 선생은 물체가 두개가 포개져서 각자 운동하는 문제는 교과서에서 다루지 않는 것이며, 교과과정 외이므로 수능에 절대 안나온다면서 평가원 비판하고 그랬는데요. 그런데 평가원에서 출제 오류 아니라고 이의제기에 답변했구..
뭐 평가원은 교사가 내는거고, 대학 교수들이 내는 수능에 절대 안나온다더니, 수능에서 가장 유행하는 문제가 됐었죠.

이렇게 평가원 문항 전면 부정하고, 오로지 교과서만 맞다고 주장하는 분들 보면, 일단 거짓을 가르치는 거라서 싫고요. 이로인해 피해보는 학생들이 안타까워서 더 싫습니다.

죄송하지만 글의 요지를 잘못 파악하신 듯 합니다.
이 글의 목적은 '정확히 언제부터' 사차함수 개형의 종류를 강조하기 시작했냐를 따지려는 것이 아닙니다.
또한 교과서만으로 모든 문제를 해결할 수 있다고 주장하고 있는 것도 아닙니다.
교과의 범위, 즉 시험이 나오는 범위를 정확히 확인하자는 것이죠

글은 길어서 아직 읽지않았지만 제목이 너무나 낯이 익어 선댓글 답니다. 제가 수험생일때 항상 시험지 앞에 적어두던 문장과 정확히 일치하네요 ㅋㅋ. 수능은 사실 문제해결력이고 자시고 제일 중요한건 자신감이죠. 저 자신감 덕에 제가 수학 실력이 밑바닥에서 엄청 끌어올릴 수 있었던것 같습니다.

아름다운 경험은 공유되어야 합니다^^

글 쓰신 분이 전달하려 하시는 뜻에는 깊이 공강합니다. 평가원의 문제는 정말 정직하면서도 심오해서 감탄을 자아내지요. 지식 측정의 시험과는 거리가 먼 것이 사실입니다. 그러나 최근 수능과 모의평가의 기조를 참조한다면, 그리고 수학능력시험이 풀이과정을 평가하는 논술시험이 아닌, 정답만 맞히면 되는 지극히 목적 지향적인 시험인 까닭에 완전히 동의할 수는 없습니다. '풀 수 있느냐 없느냐'의 관점에서는 교과서 한 권으로 충분하지만 '시간 내에 정확히 풀 수 있느냐'를 결정하는 것은 교과서에서 명시하지 않은 지식 또한 선별적이고 비판적으로 습득하여 만점을 위해 노력했느냐의 여부라고 생각합니다. 허탈했던 하나의 실례로 13학년도 수능 가형 18번 포물선 문제에서 일반항을 구할 때 교과서적 정의에 입각해 닮음으로 구했다면 3분 이상이 소요될 만한 문제지만 1/a+1/b=1/p 라는 공식을 활용할 수 있었다면 1분도 채 걸리지 않았을 문제입니다. 평가원의 의도를 곡해하는 것인지는 모르겠습니다만, 적어도 교과 외적인 풀이를 이용하여 신속하고 정확하게 풀이하는 것이 '현실'에서는 '도태'되지 아니할 최선의 방법이란 생각이 듭니다.

무슨 말씀인지 잘 알겠습니다.
그러나 교과내의 방법으로 3분내에 맞힐 수 있는 문제를
꼭 1분 내에 맞히기 위해 다양한 지식을 모두 습득해야 한다면
수학 공부의 양은 엄청나게 늘어날 것입니다.

물론 그것을 감당할 능력이 되는 학생이라면 특별히 말릴 이유는 없고,
모든 학생이 같은 방법으로 공부해야 하는 것도 아니지만,
저는 1분 내에 신속하게 풀어낼 수 있는 많은 양의 지식보다는
안정적으로 3,4분 내에 풀 수 있는 최소한의 개념을 더 선호하는 쪽입니다.
그리고, 경험적으로 수능은 그것이 가능한 시험이라고 생각합니다.

공식자체를 유도하고 증명하면서 느는 수학적인 시야와 그로 인해 간간히 얻을수있는 빠른풀이면 충분하지 않나요 물론 주객전도가 나타나면 안되겠지만 절대 그런건 알필요도 없어!! 하는건 아니라고보네요
애초에 포물선에 산술 기하 조화 평균 증명은 수리논술에도 도움되고 이차함수 문제를 볼때의 사고의 시야도 더 넓힐수잇다고 생각합니다
증명을 교과과정내에서 한다면 쓰지않을 이유도 없구요

수능은 시간도 엄청 중요한 변수기 때문에 어디서 막히거나 그럴때를 대비해서 빠른 풀이법을 알아두는검 점수를 잘받기위한, 경쟁력을 높이기 위한 하나의 공부법이될수잇습니다

저 공식은 무슨 공식인가요?

포물선의 조화평균이요

선생님 의견이 무슨 말씀인지 약간 알겠지만, 예시로 드신 문항이 부적절해보였습니다.
사실 4차함수의 개형은 12가지로 푸는 사람은 거의 없을 거고,
대다수의 학생은 도함수인 3차 함수의 근의 형태에 따라,
크게 4가지로 나눠서 푸는 사람이 대부분일 것입니다. (최고차항이 양수라는 가정) 거기에 직선이 지나갈 때 부드럽게 스치고 가느냐 완전히 뚫고 가느냐 그걸 기준으로 세분을 하겠죠.
저 역시 2011 수능 당시 12개는 떠올리지도 않았고, 어떻게해야 스치고 가는 지만 판단해서 매우 쉽게 풀었던 기억이 납니다.

물론 12가지로 푸는 사람에겐 적절한 비판이 되겠지만,
이게 유의미한 비판글이 될 수 있는가, 마치 허수아비를 세워놓고 공격하는 기분이 들었습니다.

그런데 정답률이 5%밖에 안되었다니 뭐 저와같이 생각 안하는 학생들이 더 많겠다. 뭐 이런 생각도 들긴 드네요.

무슨 말을 하는지 약간은 알겠습니다.

그런데 궁금한 것이 있습니다.
http://orbi.kr/0003890700
여기 보시면 2005년 수능 수리가형 10, 15, 24번 문항이 있는데요.
이 문항을 선생님께서는 어떻게 푸시고 가르치시는지 궁금합니다.

제가 사용한 '교과 범위'라는 말이 자꾸 '교과서'로 오인되고 있는 것 같군요.
(그럴까봐 일부러 교과서라는 단어를 사용하지 않았음에도..)
개인적으로 교과서는 교과의 범위가 어디까지인지를 정확히 확인하는 수단이지, 수업용 교재인 교과서의 요약식 설명만으로 모든 수능문제를 해결할 수 있다고 생각치 않습니다.
그래서 이러한 한계를 극복할 수 있는 새로운 형식의 책을 집필하고 중이랍니다~~

수험생입장에서는 그런소리 백번천번듣지만 막상 점수잘나오고 그런애들을 보면 꼭 그런거같지도 않고 뭐랄까 이상적인 공부관같은 느낌이 들어요 그냥이다님 말에 동의합니다. 단순히 교과과정으로만! 이한마디가 모든 수학점수를 결정해주는것도 아니니까요

마음의 위안이 되는 글인진 몰라도 실질적으로 점수에 큰 영향은 못미칠거 같네요 아니면 모든 기출의 방법론을 제시해주지 않고 일부 사례만 드는 것도 오히려 기존의 자신 고유방법에도 영향을 끼칠수있고요,

유유자적하게 문제푸는 것과 실전에서 나오는 문제 풀이는 다르죠.

공부를 많이하다보면 이글이 어떤 의미로 다가오는지 아실거라믿습니다. 정말 좋은 글이네요. 내년에 수능을 보시는분들은 반드시 이말을 잊지 말고 공부를 하셔야될거예요.

정사면체높이는 3초증명이..

일단 3초만에 절대못하고요.
위의 문항같은 경우 한변의 길이가 주어질때 높이를 구해본 경험이 있어야 문제 풀이의 방향이 명쾌히 잡히는 겁니다.
공식을 외우든 못외우든 그 경험이 높이만 구하면 변 구할 수 있단 확신이 들게하는거에요.
그자리에서 처음 높이를 유도한다? 그학생은 어지간한 문제 다 그자리에서 유도할거고 절대 100점 못받습니다.

정사면체 문제를 시험장에서 처음 유도해야 된다는 건 아무도 주장한 적이 없는 것 같습니다~

교과서나 익힘책에 깔려있는 문제인데, 그걸 강의나 교재에서 소개하지 않는 곳도 당연히 없습니다.

다만, 그 원리를 이해해서 활용하는 데에 초점이 있는지, 공식을 외워서 활용하는 데에 초점이 있는지에는 분명한 차이가 있습니다.

시험에는 정사면체만 나오는 게 아니라 정사각뿔도 나오고 그 외에 다양한 입체도형이 주어질 텐데, 그걸 공식으로 해결하려고 마음먹으면 수학공부가 점점 더 어려워지고, 몇몇 학생들은 그 공식때문에 사고의 폭이 좁아지기도 합니다.

저는 적어도 수능 대비라면 공식을 강조할 시간에 정사각뿔이나 다른 입체도형을 보여주면서 어떤 원리로 해결하면 되는지에 집중해서 가르칩니다.

그리고 이것이 수능에서 가장 안정적으로 100점을 받는 방법이라고 봅니다.

물론, 능력이 매우 뛰어나서 원리도 다 이해하면서 유용해보이는 공식도 따로 다 외워서 쓰겠다는 학생이 있다면 말릴 이유가 전혀 없습니다.

원리를 제대로 알고 쓴다면 외우고 안 외우고는 선택의 문제입니다. 실제로 정사면체 문제는 너무 많이 등장해서 외우려 하지 않아도 자연스럽게 기억하는 학생들도 많을 겁니다.

다만, 실전 스킬이 중요하다는 명목 하에
특정 문제에 한해서 10~20초, 1~2분 빨리 푸는 어떤 공식이나 기법에 공부의 초점을 두면 안 된다! 그 뜻으로 이해하시면 될 것 같습니다. 지금 시기라면 더더욱 그렇습니다.

선생님들이 점수잘받고 싶으면 어려운거 아니니까 외우라하시는데 증명한번해보고 그다음에 닥암기

그리고 교육과정이랑 교과서랑 구분하시는데 수험생입장에선 둘의 차이도 알기힘등고 정확히 교육과정만 알기도 애매하고 예를들어 케일리헤밀턴은 교과서엔 나오는데 교육과정은 아니다(?)이런말 들은적있는데 증명만 제대로 했다면 자기가 필요할때 유용하게쓸수있고요 기출자체에도 여러가지 방향성을 열어두는데도 다 이유가있는것같아요 수능은 시간싸움이니까 외울건 외우고 두직선에 수직벡터 구할때 외적도 배웠다면 쓰고 삼차함수에서 2:1내분점이 극점인것도 쓰고요... 두서없이 썻는데 제 의견은 이렇네요

한가지 반론 하겠습니다. 케일리헤밀턴 정리는 교과서가 아니라 익힘책에 있는 내용이구요, 익힘책은 교과서와 다르게 교육과정의 범위를 설정하는 책이 아닙니다.ㄱ그리고 케일리헤밀턴 정리를 고등과정에서 제대로 증명하는것은 불가능하며, 케일리헤밀턴정리를 케일리헤밀턴 정리답게 이해할 수 도 없습니다. 케일리헤밀턴ㅈ정리는 이렇습니다. n차 정사각행렬의 고유방정식은ㄱ그 행렬에 대하여도 성립항다.. 이정도라고 해야할까요? 복잡한 기호와 영어로된 책으로 공부하다보니 짧게 쓰기가 힘드네요;;

적어도 이차식에 관한 그 정리내용은 충분히 증명가능하고 (정석에도나와잇듯이) 조건(단위행렬실수배제외)만 정확히 익히면 또하나의 무기로 유용한도구잖습니까

수능에서는 그다지 유용하지 않더라구요. 예를들어 2011학년도 6월 가나형공통 4점 문제중 행렬거듭제곱으로 규칙성찾는문제에서 케일리헤밀턴정리는 처참히 무너지죠..

극단적반례를 드신다면 할말이 없지만 대부분 제곱이나 세제곱에서 끝나는 쉬운 행렬문제에 시간 단축시켜주는 경우도 많지않습니까 일반적으로 도움이 많이 되니깐요

흠.... 수능에서 케일리헤밀턴정리가 이득이 될만큼 시간절약이 되었던 거듭제곱문제가 있었던가요? 아마 다른방법으로 풀 수 있다보니 체감상 그럴 수 도 있다고 생각합니다만... 직접 시간을 재보셔도 크게 이익되는 문제가 수능에안나온걸로 압니다. 교수들도 애들이 케일리헤밀턴 그렇게 쓰는거 알거든요. 그리고 기껏해야2점짜리문젠데.. 그거 그냥 시험지 장수맞나 체크할때 암산으로 답내놓고 시작하지않나요 ㅎㅎ;;

2점자리에사 케일리필요한건 없구요;; 2008학년도 6평 나형 5번은 케일리로는 암산풀이가 가능하죠...

2007학년도 6평 나형 22번도 그렇고요

2005학년도 6평 나형 5번

그런가요... 제생각은 이렇습니다. 겨우 그정도 난이도의 문제를 위해 케일리헤밀턴을 사고의 고려사항중에 포함시킴으로 인해 제가 예를 들었던 2011학년도 6월 행렬문제에서 케일리 헤밀턴을 시도할 가능성이 생겨버리죠. 아무도 그렇게 하지 않았을거고 그렇게 해선 안된다고 지금의 학생들은 알고있습니다만, 그문제가 출제됬을 당시 그걸 케일리헤밀턴을 시도해버리는 바람에 시간낭비한 학생들, 그리고 틀릴 수 밖에 없었던 학생들이 꽤나 많았습니다. 그러므로 어짜피 케일리헤밀턴이 유리한 상황은 극히 드물고 거기다 사고 과정에 혼선을 빚게 할 가능성이 있다면 배제하는것이 바람직하지 않나... 싶네요. 제2의 2011 6월 문제가 안나오리란 법은 절대 없으니깐요 ㅎㅎ 아무튼 제 생각입니다.

그런식으로 말하실거면 애초에 왜 기출중에 쓰이는게 없다고 하신건지... 제가 반례못들면 틀리고 반례들면 뭐 그래도 안써도 풀리는데 헷갈리기나하고 위험해 이렇실거엿나요 결국 근거대면 입장을 바꾸실게 아니셧ㅇ으면 제대로된 논쟁태도가 아닌거같네요 아무튼 입장은 잘 알겟습니다

논쟁할거 아니었구요.ㅠㅠ제시해주신 그 문제들 특히 2008년도 5번의 경우 케일리 해밀턴을 쓰면 암산으로 풀린다 하셨는데요 직접 풀어보셨을거니 아실텐데 행렬의 거듭제곱연산을 하면 제일 첫항부터 ab=-2를 구할 수 있게됩니다. 케일리 헤밀턴을 썻을때와 속도차이가 미비하죠. 그 이후과정은 똑같구요. 그래서 제가 과연 케일리 헤밀턴을 안써도 풀린다고ㅎ한것입니다. 오히려 속도가 유리하다면 케일리헤밀턴이겠지만 이건 쓰나마나 속도는 진짜 차이없구요. 2005년 6월 문제의 경우 케일리헤밀턴을 쓰면 확실히 빠른것 처럼 보이기는 합니다만 진짜로 거듭제곱 한번만에 규칙성이 발견되는것과 속도차이가 유리할정도로 케일리헤밀턴이 득된다고 생각하시지는 못할겁니다. 실제로 케일리헤밀턴 공식을 쓰는 것과 행렬의 거듭제곱 한번 하는것의 연산속도는 초등학생 수준의 연산속도가 아니라면 거희 차이가 없겠죠. 마지막 2007년도 22번 문제는 행렬의 거듭제곱으로 풀면 거듭제곱을 딱 두번(A^2을 구하고 A^3을 구하면 A^3이 E의 상수배가 나오죠.)이면 풀립니다. 케일리헤밀턴을 써볼까요? 첫 시행에서 A^2+2A+4E=0이라는 매우 불편한 형태가 나옵니다. 여기서 A^2=~ 꼴로 정리해서 A^6을 구하실건가요? 행렬의 곱셈이 산수계산에서 실수할 가능성이 많다는 부분은 인정합니다만, 케일리헤밀턴은 방정식이 깔끔하게 정리되지 않으면 다항식의 거듭제곱이라는 더 복잡한 연산을 거쳐야 합니다. 출제자도 이미 학생들이 케일리헤밀턴을 쓴다는 것을 알고 이렇게 내면 케일리헤밀턴을 써서 풀거라고 검토과정에서 예측을 합니다. 그러므로 수정해서 더 이득을 얻어가기 힘들게 출제하는 거죠. 검토하는 사람도 출제하는ㅅ사람도 케일리헤밀턴으로 빨리 문제풀줄 알기때문에 그렇게 하는게 이득안되도록 문제를 만든다는 겁니다. 저는 님과 전혀 논쟁할 생각 없구요, 개인의 신념차이일 뿐입니다. 제 풀이와 님의 풀이가 다를 수 있기 때문에, 그리고 서로에게 익숙한 경험이 다르기 때문에 케일리헤밀턴으로 님이 훨씬더 이득보며 풀수도 있다고 생각합니다. 그러나 전 수학을 전공했고 교과외 과정중 수능을 푸는데 써먹을 만한 수많은 것들을 배웠고 직접 증명도 할 줄 알며 학생들은 모르는 그 의미를 통해 수능에 어떻게 몰래 그것이 출제 되는지도 알고있습니다. 그 이론을 알면 실제로 빨리 풀 수 있었습니다. 그러나 그때 이후로는 그 이론을 이용한 문제가 출제되지 않더군요. (대학과정의 행렬의 대각화와 관련된 문제였습니다.) 그래서 노파심에 하는 말입니다. 사고과정이 넒은건 좋습니다만, 지엽적인 경우에만 유리한 여러가지 도구들을 지니는것보다는 어떤 경우에도 뚫리는 단 한가지의 도구를 지니는게 더 안전하지 않나 싶어서 하는 말입니다. 속상하셨다면 정말정말 죄송하구요. 수능 잘치시기 바랍니다. ^^ 그리고.. 수능 끝나고 수학관련 서적을 통해 케일리헤밀턴 정리를 공부해 보세요. 되게 재밌는 사실을
많이 아시게 될것입니다. 제가 추천하는 책은 제가 존경하는 서울대 이인석교수님의 선형대수와 군입니다. 직접 강의도 하십니다만.. 서울대 수리과학부 학생이 아니라면 들을 기회는 없지않나 싶네요.. MIT처럼 강의가 열린다면 좋겠는데 ㅎㅎ

라마누잔님의 글을 자주 뵙고 싶군요^^

현재 이름잇는 재수학원 이과1반인데 수학잘하는애들이 교육과정에 집착하는것도 많이 못봤네요 논리적비약이나 이런거에 싫어한애는 봤어도요.. 오히려 어릴때한 경시공부나 이런게 사고의틀같은거에 도움이 된애들도 있고요 경시자체를 공부하잔의미가 아니라 교육과정외 공부도 하면 어느정도 도움이 되지 철처히 배제할필요까진 없어보이네요

본인의 방법에 확신을 가지고 있다면, 그대로 밀고 가시기 바랍니다

감사합니다 ㅋㅋ안그래도 나형 13학년도 9월 15번문제를 한달넘게 풀면서 한시간반정도 쓴듯한데.. 개념이다에 손목을건다라고 빨간펜으로 써놓은지 십분만에 풀리더라구요 ㅋㅋ 1. 비율 (주어져있는건 내분점인데 삼각형과평행선 썼어요)ㅡxn과 bn의관계식 2. 로그라는 점을 이용해 y 구한다ㅡbn 구함
이게끝이라 감동하면서 자랑하고다닌게 어제내요 ㅋㅋ

(죄없는) 손목이 쫄아서 스스로 풀어버렸군요 ㅋㅋ

주객이 전도되지만 않는다면...