[박수칠] 함수 f(x)g(x), f(x)/g(x)의 그래프 개형 (미적분2)
미적분2에서 미분법의 활용 단원의 문제들은
대부분 함수의 그래프와 연결됩니다.
특정 함수의 그래프 특성을 물어보는 문제도 있고,
접선 문제, 최대·최소 문제, 방정식·부등식 문제를 풀기 위해
그래프를 그려야하는 경우도 있습니다.
이를 위해 함수의 그래프 개형을 파악하려면
많은 요소들을 고려해야 합니다.
미적분1처럼 함수의 증가·감소와 극점 파악은 기본이요,
아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점, 점근선까지 알아야 하죠.
특히 아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점에 대한 조사는
이계도함수를 이용해야 하기 때문에 귀찮습니다.
그런데 도함수나 이계도함수를 이용하기 전에
함수식의 특성만으로 그래프 개형을 어느 정도 짐작할 수 있다면
그래프를 그리거나, 그래프 관련 문제를 풀 때 상당히 유리하겠죠.
이 글에서는 함수식이
f(x)g(x)의 꼴 또는 f(x)/g(x)의 꼴로 표현되는 함수에 대하여
도함수와 이계도함수를 거치지 않고 그래프 개형을 파악하는 법에 대해
얘기하고자 합니다.
도함수나 이계도함수를 이용하지 않고 그래프 개형을 파악하는 과정은
다음의 3단계로 이루어집니다.
(1)단계: 함수식으로부터 다음의 요소들을 조사
① 우함수, 기함수 같은 그래프의 대칭성
② 정의역과 x절편
③ y값의 부호
④ 점근선
(2)단계: (1)단계에서 찾은 각 요소들을 좌표평면에 표시
(3)단계: (2)단계에 표시된 요소들을 곡선으로 부드럽게 이어주기
이 과정을 제대로 이해하려면 예가 필요하겠죠?
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 실수 전체의 집합, x절편은 0과 1
③ e^x > 0 이므로 y의 부호는 x(x-1)의 부호와 같음
구간 (-∞, 0)에서 y > 0, 구간 (0, 1)에서 y < 0, 구간 (1, ∞)에서 y > 0
④ x → -∞일 때 y → 0 이므로 x → -∞일 때 점근선 y = 0
x → ∞일 때 y → ∞ 이므로 x → ∞일 때 그래프가 오른쪽 위로 향함
(2)단계
x축 위에 x절편을 표시한 다음,
y의 부호에 맞춰 그래프가 지나는 모양을 표시
점근선의 위치도 y의 부호에 맞춰 표시
(3)단계
(2)단계에서 표시한 요소들을 곡선으로 부드럽게 이음
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
이 정도면 비슷하죠? ^^
계속해서 다른 예도 살펴봅시다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 양의 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2
③ (x-2)² ≥ 0 이므로 y의 부호는 lnx의 부호와 같음
구간 (0, 1)에서 y < 0, 구간 (1, 2), (2, ∞)에서 y > 0
④ x → 0+일 때 y → -∞이므로 점근선 x = 0
x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 오른쪽 위로 향함
(2), (3)단계
(함수식에 (x-2)²이 포함되어 있기 때문에
그래프가 x=2일 때 x축에 접함을 예상할 수 있음)
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 0을 제외한 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2
③ y의 부호는 x(x-1)(x-2)의 부호와 같음
구간 (-∞, 0)에서 y < 0, 구간 (0, 1)에서 y > 0,
구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → -∞일 때 y → -∞이므로 그래프는 왼쪽 아래로 향함
x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프는 오른쪽 위로 향함
x → 0-일 때 y → -∞이므로 점근선 x=0
x → 0+일 때 y → ∞이므로 점근선 x=0
(분자 차수) ≥ (분모 차수)이므로 분자를 분모로 나누면
y = x -3 + 2/x 가 되고,
x → ±∞일 때 2/x → 0이므로 y ≒ x-3 으로 볼 수 있음
따라서 x → ±∞일 때 점근선 y = x-3
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2
③ e^x > 0 이므로 y의 부호는 (x-1)(x-2)의 부호와 같음
구간 (-∞, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → -∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 왼쪽 위로 향함
x → ∞일 때 y → 0이므로 점근선 y = 0
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 2를 제외한 양의 실수 전체의 집합, x절편은 1
③ y의 부호는 (x-2) lnx의 부호와 같음
구간 (0, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → 0+일 때 y → ∞이므로 점근선 x = 0
x → ∞일 때 y → 0이므로 y = 0
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 1을 제외한 양의 실수 전체의 집합, x절편은 2
③ y의 부호는 (x-2) lnx의 부호와 같음
구간 (0, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → 0+일 때 y → 0이므로 x → 0+일 때 그래프가 원점으로 향함
x → 1-일 때 y → ∞이므로 점근선 x = 1
x → 1+일 때 y → -∞이므로 점근선 x = 1
x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 오른쪽 위로 향함
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(구간 (0, 1)에 변곡점이 존재하지만 개형에서는 확인 불가능)
지금까지의 예를 보면 이 방법이 참 잘 통하는 것 같은데…
그럴싸한 함수만 예로 들어서 그런 것이지
절대 만능은 아닙니다.
그럼 어떤 함수가 잘 통하는가?
f(x)g(x), f(x)/g(x)의 꼴에서 f(x), g(x) 각각이
실수 범위에서 예쁘게 인수분해되는 다항함수
또는 간단한 지수함수, 로그함수여야 합니다.
여기에 맞지 않다면
증가·감소와 극점, 아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점을
파악하기 위해 도함수, 이계도함수에 대한 조사가 필수입니다.
예를 들어 다항함수 부분이
실수 범위에서 인수분해되지 않으면
x절편과 점근선만으로 극점의 위치를 예상할 수 없습니다.
다음은 함수 의 그래프입니다.
이 함수의 분자 5x²+3x+1이 실수 범위에서 인수분해되지 않기 때문에
x절편, y의 부호, 점근선만으로 그래프 개형을 그린다면
극대, 극소가 나타나지 않습니다.
그러니 잘 활용하되, 맹신하지는 마세요~ ^^
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
도 다 못맞을 정도면 심각한거죠...? ㅠㅠ 수특 레벨2나 3은 4등급이 플기엔 좀...
-
본인 방식대로 풀다가 10분 종치면OMR, 가채점 하고 나머지 풀기 or 한 파트씩...
-
언매 파이널 짧고 ㄱㅊ은 거 추천좀요
-
국장끼면 어딜가도 별로 차이 안남
-
4월중순부터 1
하루 8시간씩 순공 박은거면 사실상 재수랑 다름없나요??
-
타죽어라인줄 알았음...
-
기범비급 오류저격을 해버리시네 그러고 잠수탐
-
소문으로 들었는데.사실인가요....? 이러면 사람들 q 더 안 쓰는건가...
-
현역때 경험으로 수능날은 100% 엄청 떨릴거라는걸 아는데도 지금 이시점에서 아침에...
-
숭의여대 유아교육과 졸업하면 자격증 어떤 거 나오나요?
-
총 한발만 쏴도 되나요? 아아.. 안타깝게도 총기소지금지라서 봐주는겁니다
-
점메추 해주세요 2
-
겨울방학 12월말부터 2월초까지 쌍지만 팔 예정인데 하루 8시간 쌍지만 파면 고정...
-
하루하루가 급한데 접수대기에서 바뀔 기미가 안보인다
-
장학금 제외
-
있나요? 신기함... 보기 관점대로 접근해도 최근 문학은 쉽진 않던데
-
작년9월부터 평가원 쭉 백분위 96-99 안에 있는데 이색히 3등급 나옴 ; 뭐지...
-
ㄱㅆㅎㅌㅊ인 거 같음 읽자마자 딱 그려져야 할 거 같은데 ㅅㅂ 이게 먼소리? 하는...
-
누구있나요?
-
ㅠㅠ 또 나만 어렵지…
-
팥붕vs슈붕 7
.
-
프사 변경 확인 6
완료
-
이제 접음
-
잡고 학기병행할 생각인데 약 2년이 남았잖아요 영1 국어 백분위 91-93 고정인디...
-
상상 5-10만 1
구하는 방법 없나여
-
저도 큐브쓸래요 2
재밌어보여요
-
22 28 30 틀 하나만 더 풀면 92였는데 ㄲㅂ 아깝숑
-
어제밤에 수능 망하는 꿈 꿈..ㅋㅋ 국어에서 부터 시작해서 탐구까지 싹다 망함...
-
ㅜㅜㅜㅜ
-
병원 대기 겆나기네 10
하.. 안돼 ㅠㅡㅠ 제발 시간 아까워
-
발사.
-
연계대비나 퀄 괜찮은것좀
-
실모만박박풀다 작년꺼풀어봤는데 미적 1컷이 84...? 9모 3등급인 내가 수능에선 1등급?
-
어디가 더 위치가 좋다고 생각하시나요
-
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
물론 아에 안걸리는게 베스트고 지금 걸린 사람들은 다행으로 생각하삼 지금 앓다가...
-
갑자기 피부가 트네 왜지
-
내년에 인설 공대 목표로 수능보는데 조합 한번씩만 추천드려요!
-
충분히 재공되나요???
-
이번 6모 수학 4
10 12 13 14 15 19 20 21 22 28 29 30 틀렸는데 (단순...
-
필수 어휘로 간주되는 고전 어휘는 대부분 암기했음에도 예전 기출을 풀 때 처음 보는...
-
독서론 화작 ,문학 ,독서 순서임미다
-
물론 장점도 있지만 들어도 애매하고 그런데 사탐 저둘빼고는 상관없다고 생각함
-
브릿지 수학 0
확통입나다, 10문제중 타율이 한 6~7문제 정도 되는데 실력이 몇등급정도...
-
ㅈㄱㄴ…?
-
생윤인지 사문인지 매년 오개념이슈 전통놀이처럼 터지는거 보면 5
오개념 따위 있을수가없는 화1이 천사같다
-
상상 0
퀄 더 좋은 거
-
경외심느끼면서 피하게됨.... 그 사람들 기분은 어떨까
-
이런거 왜캐 쳐띠껍지? 17
이런거 쳐써놓으면 걍 풀어줄라다가 포기하기누르고 나옴 그냥
-
ㅠㅠ 또 나만 마렵지..
ㅗㅜㅑ
개꿀 팁 사랑합니다
와 2분만에 첫플!
감사합니다 ^^
이거 삽자루센세가 기출이랑 해모 해설할때 쓰시던 것이네요 ㅎㅎ 유툽에서 보고 신기해서 배워뒀네요
2014학년도 수능 30번 문제 풀 때 진짜 쓸만하죠~
난만한씨의 곱함수의 그래프 개형이 기억나군요 ㅋㅋ
한완수 최신판도 본문처럼 설명되어 있나요?
2012년에 나온 한완수 가지고 있는데
거기서는 f(x), g(x) 각각의 특성을 조합하는 방식으로
그래프를 그렸던 것 같거든요. (좀 어렵...)
네 지금도 f(x),g(x) 로 각각 나누어서 각각의 특성을 이용하여 간단한 개형을 추론하는식으로 나와있을꺼에요 . 저는 도함수와 이계도함수를 이용하지않고 개형을 추론해보는것에 주목해서 생각난다고 말한듯 ㅎ
아~ 그렇군요.
좀 어렵긴 하지만 확장성 면에선 한완수에 기술된 방식이 더 좋죠.
본문의 방식은 x절편이 없으면 망이라... ^^;
t->inf t^2/e^t =0인건 어떻게..아나요??
1. ∞/∞꼴이고 분모·분자가 모두 미분가능하기 때문에 로피탈 정리를 2번 씁니다. 로피탈 정리 적용 결과가 수렴하기 때문에 문제 없습니다.
2. e^t을 테일러 급수로 전개합니다. 그럼 차수가 무한대인 다항식이기 때문에 위 극한이 0으로 수렴함을 알 수 있습니다.
3. 고등학교 과정 내에서 설명하려면 세 단계를 거쳐야 합니다.
(1) n → ∞일 때 e^n / n² →∞의 증명
e=1+h로 두면 이항정리에 의해 다음이 성립합니다.
e^n = (1+h)^n = nC0 + nC1·h + nC2·h² + nC3·h³ + ···
= 1 + n·h + { n(n-1)/2 }·h² + { n(n-1)(n-2)/6 }·h³ + ···
e^n / n² = 1/n² + ( 1/n )·h + { (n-1)/2n }·h² + { (n-1)(n-2)/6n }·h³ + ···
여기서 네 번째 항 때문에 n → ∞일 때 e^n / n² → ∞입니다.
(2) (1)로부터 n → ∞일 때 n² / e^n →0임을 알 수 있습니다.
(3) (2)로부터 x → ∞일 때 x² / e^x →0임을 알 수 있습니다.
ㅎㅎ 이항정리 방법일 것 같았습니다. 미2 내용만으로 설명할 수 있는 방법이 있나요ㅡ?
+1. 에서 로피탈..? 정리 적용 결과가 수렴하면 문제없나요?
이항정리로 보이는 방법 알고 계셨나요?
전 어떤 분이 이항정리로 증명하는 건 어떻겠냐고
아이디어 던져줘서 알아낸건데... ㅡㅡa
로피탈 정리에 대해선 다양하게 찾아봤는데
'로피탈 정리 적용 후에도 수렴해야 한다'라는 조건까지
붙이는 것이 가정을 제일 tight하게 적용하는 경우더라구요.
http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html
이 이상의 제약 조건이나 반례는 아직 못찾았습니다.
이전에 학생들 가르칠 때, 어디 학원에서 배워왔다고 하더군요 ㅎㅎ
미적분내용이아니어서 그냥 넘겼었는데..
로피탈 정리 적용 결과가 0이 아닌 값에 수렴해도 되나요?
그랬군요 ^^;
로피탈 정리는 적용 후에 0이든, 0이 아니든
상수로 수렴하기만 하면 문제 없습니다.
lim_(x→∞) { (x+sinx) / x } 처럼
분모·분자 미분 후 발산하면 로피탈 정리를 적용할 수 없구요.
대칭성의 유무는 어떻게확인하나요..?
정의역의 임의의 원소 x에 대하여
(1) f(-x)=f(x)가 성립하면 y축에 대해 대칭 (우함수)
(2) f(-x)=-f(x)가 성립하면 원점에 대해 대칭 (기함수)
(3) f(a-x)=f(a+x)가 성립하면 직선 x=a에 대해 대칭
(4) f(a-x)=-f(a+x)가 성립하면 점 (a, 0)에 대해 대칭
등이 있습니다.
그래프 그릴 땐
(1), (2)에 해당되는지 판단하는 걸로 충분하구요.
헐 개꿀... 감사합니드..♡
저도 감사드리고,
꼭 써먹을 기회가 왔으면 좋겠네요~ ^^
이관데 박수칠 미적12둘다샀는데 미적1은 어느정도 깊이로 하면될까요 ?기본문제위주로하고 수능모위기출까지는풀지말까요?
최소로 잡아도 본교재에 실린 기출은 모두 보는 것이 좋다고 생각합니다.
직접 출제 범위는 아니지만 발상이나 해법이 미적분2와 연결되니까요.
최대로 잡으면 여기( http://orbi.kr/0005897498 )에 있는
부교재 연습문제까지 다 푸는 거구요.
아울러 정오표도 꼭 참고해주시구요.
교재 구입 감사드리고,
오류/오타 때문에 학습에 불편을 드려 죄송합니다.