수학문제 질문드립니다.
1, 11, 111,1111,.................................
2,22,222,2222,................................
3,33,333,3333,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,이런식으로 가서
9,99,999,9999,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
로 나가는 무한 개의 수가 모두 완전 제곱수가 아님을 증명하는 문제인데 어떻게 하면 될까요?
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일단 거듭제곱수는 1의 자리 숫자가 1, 4, 9, 6, 5만 가능하므로 2, 3, 7, 8 라인은 완전제곱수가 아님.
6...은 2의 배수이므로 완전제곱수라면 4의 배수여야 하는데 끝 두자리가 6or66이므로 불가
5...는 5의 배수이므로 완전제곱수라면 25의 배수여야 하는데 5×1...이므로 불가(1...이 5의 배수가 아님)
4...는 2^2×1...이고 9...는 3^2×1...이므로 이건 1...이 완전제곱수가 아님을 증명하면 같이 처리되는 부분임.
물론 1, 4, 9는 논외일테고(완전제곱수니까-_-;;;)
1...1(1이 n개)에서
i) n=2k (k는 양의 정수)일 때
1......1=1...1(1이 k개)×10...01(0이 k-1개)
ii) n=2k+1(k는 양의 정수)
까지 썼는데 뭔가 잘 안풀림. 방향을 잘못잡았을지도; 졸립네요;;;
아 제가 문제를 잘못 썼네요 한자리수는 빼고 읽어주심 감사요
그리고 저도 1111111111111111111111111111....................이녀석이 완전제곱수가 안되는 이유가 궁금한 상황이네요
윗분말대로 하고 이제
1111라인이 완전제곱이 될수 없음을 보입시다.
11111...=k^2가 된다고 가정시(k는 홀수)
1111..0=(k-1)(k+1)가 되어,
좌변은 4의배수가 아니지만(4의배수 판정법) 우변은 짝수x짝수=4의배수입니다.
따라서 111111...=k^2이라는 가정이 틀렸습니다.
물론 1의개수가 2개 이상일때의 얘기입니다.
아; 이거네요; 와우-
k * ( 10^n - 1 ) / 9 가 k = 1, 2, 3, ... , 9 이고 n 이 2이상의 자연수일 때, 완전제곱수가 될 수 없다는 것을 보이는 문제군요.
일단, 9는 완전제곱수이므로, k * ( 10^n - 1 ) 이 완전제곱수가 되지 않는다는 것만 보이면 됩니다.
단계 1) 10^n - 1 은 홀수이므로, k = 2, 6, 8 일 때는 완전제곱수가 되지 않습니다.
단계 2) 10^n - 1 은 5의 배수가 아니므로, k = 5 일 때는 완전제곱수가 되지 않습니다.
단계 3) k = 4, 9 일 때, 완전제곱수가 되는 것이 존재한다면, k = 1 일 때도 완전제곱수가 된다는 것이므로,
결국, k = 1, 3, 7 일 때, 완전제곱수가 되지 않는다는 것만 보이면 충분합니다.
그런데 k = 1 일 때는, k * ( 10^n - 1 ) 을 4로 나눈 나머지가 3 이므로 완전제곱수가 되지 않고,
k = 3, 7 일 때는, k * ( 10^n - 1 ) 을 10으로 나눈 나머지가 각각 7, 3 이므로 완전제곱수가 되지 않습니다.
결국 1111111111111111111111111111111 요놈은 4의 배수수로 나누면 나머지가 3인데 완전제곱수는 4로 나누면 나머지가 0또는 1이기 때문으로 정리가 되는군요 감사합니다.