왜 두 점을 잇는 최단 거리의 곡선은 직선인가
당연한 명제지만 이를 증명해 본 적이 있는가?
당연히 없을 것이다. 왜냐하면 이를 증명하기는 생각보다 꽤 어렵기 때문이다. (미적분 개념을 알고 있으면 좋다.)
먼저, 두 점
를 가져와 보자.
이 두 직선을 잇는 아무 곡선 y(x)를 생각해보자.
곡선의 길이를 측정하는 함수 L(y)에 대해서,
L(y)의 극값, 즉 극솟값이 최단 길이가 될 것이다.
L의 극값을 구하기 위해 y를 살짝 변형해보자.
이때, y_0(x)는 우리가 구하고자 하는 최단 거리의 곡선이고
αη(x)는 그 곡선으로부터 얼마나 변형되었는지를 나타내는 추가 함수이다. 당연히 시작점과 끝점은 같아야 하기 때문에
이 된다. 이때, 최단거리 곡선은 y_0이므로, α가 0일때, L이 최소가 될 것이다. 그러면, L의 α 에 대한 편미분
이 되도록 하는 α 가 0이라는 뜻이다.
그런데 L은 우리가 미적분에서 배웠듯이
가 된다. 이때,
이므로
적분식의 첫번째에서 두번째 식으로 가는건 연쇄법칙을 이용한 결과이다.
이를 부분적분해주면
이때, 우변의 두번째 항은 η의 양 끝값이 0이므로, 0이 된다.
그렇다면,
이렇게 된다. 임의의 η에 대해 항상 α=0일때 저 식이 성립하려면
이어야 하고, 그러면
가 됩니다. 결과적으로 y_0'는 상수가 되고 y_0는 직선이 된다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
브크 듣고 있는데 스키마에 매몰되지 않으려고 일단 문제 처음 풀땐 최대한 구조도를...
-
독서 25분컷은 진짜경이로운듯...
-
ㄹㅇ 광기
-
벅벅
-
여러분들의 선택은 ?
-
수능 국수탐1 만점
-
왜 윽건이를 다들 극한상쇄라 하는 거? 해당 부분 강의 내려감?
-
앞으로 점차 발전해나간다고 합니다.
-
갓기하
-
CCTV 음영지대가 너무 많아서 이런 싸패들이 지금보다도 훨씬 더 설치고 다니는...
-
과학장교 사관생도출신 ㄷㄷ
-
영어구문질문 0
구문강의중기본적인 명사,형용사 구조같은것만짧게 가르치는 강의들이 있던데 총10강...
-
독재+단과 물 지 수학 서바 70+120 잇올(버스20분)(더프,질답) 72...
-
바다의 불사신 0
이름: 히드라 몇 억년 전부터 살았는지 추측 불가 복제가 가능하며 영원히 살 수...
-
보통 그쯤에 모고 성적 어느정도 나오셨나요
-
어떤 운동을 하는게 좋을까요 헬린이라 뭐부터 시작해야 할지 모르겠음..
-
경영학 컴퓨터과학 사회과학 (심리학, 역사학, 철학 등) 영어영문학과 기계 or 전전
-
이게 무슨 일이니
-
안취함
-
쉬면 ㅈ될거 같다는 느낌이 강하게 든다
-
벽치기 0
예쁜 누나한테 당해보고 싶어요
-
. 0
굿나잇 뽀뽀 쪽
-
주점 0
힘들구나 진짜
-
노잼이네 3
공부나 하러 감
-
왜 인기 많은지 알겠다 인생 축복모드로 살듯
-
그랴서 원래 담날에 집모로 봐야겧다 햇는데 걍 당일에 보는 게 낫나 싶어가지고…...
-
실질적으로 오늘밤이 기분 최고조
-
돈주고살걸 미안하다 고맙다
-
1년 만에 ‘카르텔’에서 ‘성장 토대’ 된 R&D 예산… 예타 대상서 R&D 뺀다 2
尹 대통령, 올해 ‘국가재정전략회의’ 개최 말 많고, 탈 많던 ‘R&D 예산’ 중요...
-
여붕이 없나요 9
여붕이는 ㅇㅈ을
-
더 안모인다는걸 알거에요
-
180일의 기적 보여줌ㅋㅋ
-
제발 비하아닙니다
-
재단도 보면 배재중고 배재대랑 같긴한데 배재대가 지방으로 가버리니 지방사람들은...
-
제가 운전병 생각중인데 점수 계산이 이게 맞나요? 1학년 수료, 1종보통 딴다 하면...
-
이 글을 본 사람은 10
저에게 덕코를 500개 이상 주지 않으면 곧 문지방에 발가락을 찧습니다.
-
러셀 기숙 0
메가교재 피뎁 쓰면 잡나요? 주변에 교재 산 사람이 찌를수도 있으려나요
-
ㅍㅇㅌ
-
아무리봐도 모르겠네요 ㅜ
-
강민철 수강생이라서 는 구라고 사실 강민철 인강 안듣고 독학했습니다 ㅎㅎ 6모 뒤...
-
예전에는 pdf 원본 바로 다운받을 수 있어서 좋았는데 요즘은 전용뷰어까지 깔라 하고 귀찮구먼
-
뭘해야될까요
-
. 0
자야겠쿤.. ㅎㅎ 근데 졸리웁진 않은
-
할줄아는게없음을 자책하는 나
-
동석차자가 17명인건 함정-
-
2.58에서 1.28까지 올림 (이과임) 1학년 1학기로 돌아가서 과거의 나한테...
-
축제 재밌었다 2
이제 과제...해야겠지?
-
단과 열심히 들으면서 개인공부로 채워보겠습니다 작년에도 더 열악한 환경에서...
-
통합 1컷 = 나형 99~100 통합 백분위 93~94 = 나형 98~99 통합...
(뒤로돌아가기)
헉
이거보고수학과포기하기로했다
이거는 진짜 개쉬운건데...
글고 수학 아니고 물리에요
이건 변분법을 이용한 증명인데 실제로는 미분가능하지 않은 곡선도 있기 때문에 엄밀함을 추구하는 수학에서는 사용할 수 없는 증명이에요
이거보고물리학과포기하기로했다
천천히 읽어보시면 그렇게 어려운 내용은 아니에요 ㅎㅎ
그냥 고등학교 적분규칙정도만 잘 알고 있어도 이해 가능티비
이거보고 유미q 직선으로 날리기로 함
그거는 트롤로 가는 직선 경로
이거보고 케인코 미분했다
근데 왜 시간이 갈 수록 코 크기가 안 줄어드나요
기울기는 -3000이지만 이미 코 크기가 26.7Gpc이라 작아지는게 안보이는 나