gs_edu [1213818] · MS 2023 · 쪽지

2024-02-27 03:31:41
조회수 2,519

[칼럼] 고정 점수 얻어가는 도형 풀이 알고리즘

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수능 도형 문제의 난이도에는 분명한 제한이 있다.


도형 문제는 맥락 없이 어렵게 내려면 진~짜 어렵게 낼 수 있지만

수능 문제에는 분명한 목적과 평가 기준이 존재하기 때문에 결국 틀 안에서 돌고 도는 수 밖에 없다.


도형 문제 풀이의 알고리즘을 파악하고, 체화만 한다면 절대 틀리지 않게 해줄 자신이 있다.



수능 도형 문제 풀이를 위해서는 딱 세 가지만 기억하면 된다.


[1] 행동 강령

[2] 관찰

[3] 꼬리물기 


먼저 첫 단추인 행동 강령부터 알아보자.



[1] 행동 강령이란?


어떤 상황이나 조건이 주어졌을 때, 어떤 행동을 이어 나갈지 미리 정해두는 것이다.


너무나 당연하고 쉬운 생각들이더라도, 도형 문제에서는 이러한 생각을 빼먹지 않는 것이 정말 중요하다.

그렇기 때문에, 반드시 체계화해서 무엇 하나 빠지지 않게 만들어야 하고, 빠져도 찾을 수 있는 구조를 만들어야한다.


알아두어야 하는 행동 강령을 지금부터 하나씩 알아보자.


< 공통 >


평행선

평행선과 관련하여 가장 중요한 성질은 엇각과 동위각이다.

이 외에도 평행의 성질도 추가로 생각해주어야 한다.


< 삼각형 >


이등변 삼각형

두 변 길이가 같다.

두 각의 크기가 같다. 

수선의 발이 수직 이등분 선이다.


정삼각형

세 변 길이 같다.

세 각이 60도로 같다.

내심/외심/무게중심이 일치한다. 


직각 삼각형

피타고라스

sin/cos 정의 활용


각의 이등분선 정리


특수각 (30도, 45도, 60도)

특수각을 포함한 직각 삼각형을 작도하면 아주 쓰임이 많다는 점을 기억하자.


길이비 제시

길이 비율이 제시되는 경우 닮음과 연계되는 경우가 굉장히 많다.

사실 당연한 것이, 닮음을 써먹기 위해서는 길이비가 제시 되어야만 하다는 사실을 마음으로 이해해야 한다.

당연히. 길이 비율이 제시되는 경우 닮음과 연계될 가능성이 높다는 사실을 다시 한 번 새기자.


* 길이비를 통해 넓이비를 연쇄적으로 알아내는 유형도 꼭 익혀두자.


직각직각직각

직각삼각형 속에 직각 삼각형이 있거나, 직각이 여러개 나오는 경우 닮음 관계를 주의하자!


코사인법칙

코사인법칙의 체크메이트 룰을 몇 가지 반드시 숙지해야 한다.

a. 세 변의 길이가 주어지는 경우 -> 세 각에 대한 삼각비를 다 알아낼 수 있다.

b. 두 변의 길이와 한 각의 삼각비 -> 이하동문


사인법칙

사인법칙은 코사인법칙에 비해 수동적인 법칙이다.

사인법칙은 주로 각의 정보가 더 많이 주어졌을 때 사용된다.

추가로, 외접원이 있는 경우에는 반드시 떠올려주자!


정리하자면, 

길이의 정보가 많을 땐 코사인법칙,

각의 정보가 많을 땐 사인법칙을 사용하자.


* 삼각비에서 중요한 것은 길이의 비율이다. 

  길이의 비율을 제시해줄 때도 사인/코사인 법칙을 똑같이 적용할 수 있다는 점을 기억해주자..


< 원 >


중심과 반지름

원 위의 의미 있는 점은 중심과 반드시 이어주자.

중심이 제시되어 있지 않다면, 중심을 찾을 생각도 해주자.


원주각&중심각

원주각이 제시됐다면 또 다른 원주각을 활용하거나 중심각을 활용하자.

중심각이 제시됐다면 원주각을 활용하자.


* 지름이 원주로 주어졌을 땐 원주각이 항상 직각이다!.

* 기억하자. 지름직각! 


원과 접선

중심과 접점을 이은 선분과 접선이 직각이다.


내접원

a. 삼각형 넓이 = (r/2) * (a+b+c)

b. 직각삼각형 속 내접원 활용


사실 여기서 모르는 내용이 있는 사람은 한 명도 없을 것이다. 빠르게 다음 스텝으로 가보자.


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[2] 관찰


도형 문제가 어려운 이유는 정보들이 명시적이지 않기 때문이다.



지금 여러분 눈 앞에 세상에서 제일 싫어하는 새끼가 있다고 해보자.


나는 지금 이 친구가 너무 싫어서, 얘가 말하는 모든 것에 태클을 걸고 싶어 죽겠다.


얘가 뭔가 말하기 시작했을 때, 무엇 하나라도 꼬투리 잡겠다는 그 마음가짐을 떠올려보자.



도형 문제에서는 발문지금 같은 태도로 읽어줘야 한다.


두뇌를 풀가동하면서, 천천히 놓치는 것이 절대 없도록 해줘야 한다.




우리는 지금 앞선 단계에서


1. 도형의 특징을 이용하는 방법 을 배웠지만, 여기에 추가적으로


2. 어떤 특징으로부터 도형을 찾아내는 능 또한 갖춰줘야 한다.


어떤 수치의 값이 주어졌을 때, 마냥 '우헤헤' 하지 말고 어떤 의미가 있는지 의심해봐야한다.



관찰을 잘 하기 위해 필요한 기술은 몇 개 없으니 잘 배워보자.


a. 도형 문제를 풀다 잘 모르겠으면, 길이와 각들을 한 번 전수조사한다.

b. 도형은 작게도 바라보고, 크게도 바라보자.

c. 복잡한 구조에서는 그림을 떼서 그려서 관찰한다.



나중에 경험치가 쌓이면 내가 말한 것들이 더 의미있고 색다르게 느껴질 것이다.


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[3] 꼬리물기 ★★★★★★★★★★


사실 도형문제의 꽃은 꼬리물기다.


꼬리물기란?


기존 정보(A)에 새로운 정보(a)가 결합되었을 때, 또 다른 새로운 정보(a')를 얻고


갱신된 기존 정보(A)에 새로운 정보(a')를 결합시켜 또 다른 새로운 정보(a'')를 얻는 흐름이 반복되는 것이다.



앞으로 새로운 정보를 얻었을 때는 반드시 두뇌를 풀가동하여 기존 정보와 결합할 수 있는 가능성을 떠올려주자.



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이제 본격적으로 문제를 같이 풀어보며 감을 익혀보자.


마지막으로 정말 중요한 한 마디를 하자면


어떤 조건을 사용할 지, 어떤 생각을 할 지 방향성을 정할 땐 반드시 '맥락' 을 고려하도록 하자.


sin값이 나왔다고 무작정 sin^2 + cos^2 = 1을 이용하는 것이 아니라, 


문제에서 주어진 정보와 목적성 사이의 맥락을 고려했을 때 가장 어울리는 방향으로 가자는 말이다.




1. 2024학년도 수능 공통 13번 ( 오답률 58.8% )

발문부터 날카롭게 읽어보자. 제시된 그림을 참고하며 조건을 그림에 표시해보자.


AB=3, BC=루트13. 여기서 바로 멈춰야한다.


길이 2개에 각 하나 줬으니깐 AC길이 무조건 알아낼 수 있겠다. 생각하고 넘어가야 한다.

지금 바로 구하진 않아도, 구할 수 있다고 생각하고 넘어가자.


마저 읽어보자.


AD * CD = 9? 잘 모르겠다. 킵해두자.


넓이 S1, S2. 외접원? 사인법칙 생각난다. 


사실 여기서도 두뇌 풀가동 하면서 읽다가 맥락에서 느껴줘야 한다.


삼각형 ADC에서 AD * CD를 줬고 넓이 얘기를 한다?


'아~ 넓이를 1/2 ab sin(theta)로 표현해보라는 힌트군!' 바로 생각해줘야 한다.


그러면 일단 AC를 구하고 S1를 표시해보고 계산을 쭉쭉 하면..


아 ㅋㅋ 진짜 말도안대개쉽내 ㅋㅋ


외접원 반지름 얘기 하니깐 뻔하디 뻔한 사인법칙 쓰는건 생략헀다.



2. 2023학년도 수능 공통 11번 ( 오답률 52.3% )

날카롭게 읽어보자.


사각형 내접이 아니라 내접하는 삼각형 두 개로 보여야하고, 외접원이니깐 사인법칙 바로 대기하자.

각 두개가 같은데, 각의 이등분선을 쓰는 스타일은 아닌 것 같다. 진짜 literally 각이 같다고 해석해주자.


AB, AC, AD길이를 줬네?

어.. 코사인법칙..? 근데 BC랑 CD 길이를 미지수로 둬야할 것 같다.

두 각에 대한 코사인 값이 같다고 해서 등식을 세워도, 식이 하나고 문자가 두개라 난감하다.


여기서 초보자들은 잘 안보일 수 있다. 이럴땐 문제 상황을 천천히 바라보면서 여러 생각을 해줘야한다.


사실 주어진 두 각을 원주각으로도 해석할 수 있고, 원주각이 같다면? BC와 CD의 길이는 같은 것이다!


아~ 그럼 미지수가 사실상 하나구나!


그럼 미지수 구하고, 처음에 미리 생각해놨던 사인법칙을 바로 써서 반지름 길이를 구하면 된다.



3. 2022학년도 6월 공통 12번 ( 오답률 40% )

마찬가지로 발문부터 날카롭게 읽어보자.


AB=4, AC=5 길이 많이줬네. 코사인 값도 줬네? 각도 세개가 같다네?


지금처럼 보조선이 많은 문제에서는 삼각형이 사실 굉장히 여러 개 겹쳐진 상태라는 것을 인지해야 한다.


삼각형 ABC에서 보면 길이 2개를 줬고, 삼각비를 하나 줬으니 나머지 두 각의 삼각비와 BC 길이를 알아낼 수 있다!


그리고, 저 이등변 삼각형에서 수직 이등분선도 긋고 길이 표시도 너무 해주고 싶다. 계산을 해보자.



길이를 구해봤더니 삼각형 DBC가 새롭게 이등변 삼각형이 된 사실을 파악할 수 있다! 

BC의 길이도 6으로 구했으니, 수직 이등분선을 그리고 마저 관찰해보자.


직각삼각형이 양쪽에 만들어지는 그림이 나왔고, 문제에서 준 삼각비를 활용해서 두 길이를 8x, x로 잡아보았다.


이후 두 직각삼각형이 공유하는 변의 길이가 같다는 성질을 이용해주면 가볍게 문제를 풀어낼 수 있다.



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사실 도형 문제는 본인이 얼마나 많은 시행착오를 겪어 보느냐가 가장 중요하다고 생각든다.


항상 스무스하게 풀리리라는 생각을 접어두고, 만약 문제를 풀다 막히는 순간이 온다면


천천히 관찰해보며, 내가 이런 조건/상황에서 어떻게 행동하기로 했지? 생각도 해보고


새로운 정보를 얻었을 때 계속해서 맥락속에서 기존 정보와 결합하려고 노력해보자.



개인적으로 도형 문제를 내가 잘 풀고 싶다면


1. 하루 날 잡고 몰아서 싹 풀어보고


2. 주기적으로 도형 문제를 계속 풀어줘서 감을 유지해보자. ( 매일 한 3개씩 ㅎㅎ )

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