수열 준킬러 1분 안에 푸는 방법 (2)
과연 무조건 첫째항부터 나열하는 것이 항상 좋은 걸까요..?
또한 나열하면서도 시간과 과정을 조금이라도 단축시킬 수는 없을까요..?
등차수열이나 등비수열이 아닌 순수한 수열 문제에서,
모두가 알다시피 ‘일단 나열해놓고 보는 것’이 정말 중요합니다.
하지만, 문제의 방향성을 염두한 채로 나열하다보면 불필요한 시간을 훨씬 줄일 수 있습니다.
올해 6월 모의고사 15번입니다.
이 문제에서 모든 케이스를 구분짓는 핵심적인 요소는 의 부호입니다.
따라서 우리는 이 부호가 어떻게 전개될지에 모든 초점을 맞춰 풀이를 진행해야합니다.
먼저 모든 상황에서
으로 여기까지는 케이스를 나눌 필요가 없어보입니다.
이제 여기서부터 케이스를 나누어야합니다.
이제 k=1부터 k를 1씩 올려가며
등의 부호에 따른 케이스를 나누어보아야합니다.
상당히 번거로운 과정이 될 것 같습니다.
그 전에 풀이를 단축시켜줄 수 있는 규칙성이 있는지 살펴보는 것이 좋을 것 같습니다.
먼저, 과연 모든 항들의 부호가 서로 독립적일까요..?
혹시나 에 숨겨진 규칙이 있는지 살펴봅시다.
위와 같이 식을 변형해보고, 이 세 가지만 놓고
각각의 경우에 어떻게 전개되는지 대략적으로만 살펴봅시다.
만약에 이라면
이므로 입니다.
즉, 음수항 다음 항이 양수항이라면 그 다음 항은 다시 음수항이 됩니다 ... ㄱ
또한,가 전부 음수라면
"어..? 그렇다면.?"
... 이를 통해, 음수항에서 양수항으로 바뀔 때까지
음수항(이후 첫 양수항도 포함)에서 각 항들끼리의 차이는 공차가 2인 등차수열임을 알 수 있습니다 ... ㄴ
마지막으로, 만약 3~6번째 항에서 0이 하나라도 나온다면
이므로 더 살펴볼 필요가 없습니다
... ㄷ
우리는 ㄱ, ㄴ, ㄷ세 가지를 염두한 채로 최대한 빠르게 모든 경우들을 파악해볼겁니다.
k=1일 때,이므로
성립X (- + + -) (ㄱ 활용)
k=2일 때이므로
성립X (ㄷ 활용)
k=3일 때, 이므로
성립O (- + - -)
k=4일 때, 이므로
성립X (ㄷ 활용)
k=5일 때,이므로
성립O (- - + -) (ㄱ, ㄴ 활용)
k=6일 때, 이므로
성립O (- - - +) (ㄱ, ㄴ 활용)
k=7일 때, 이므로 성립X (- - - -) (ㄴ 활용)
k>7일때도 전부
(- - - -)일 것입니다.
따라서 가능한 k는 3, 5, 6 뿐입니다.
우리는 나열을 하면서도, 몇가지 규칙을 미리 염두해두어 케이스를 나열하는 시간을 줄이는데 성공했습니다.
한 문제만 더 살펴봅시다. 2023년도 수능 15번입니다.
이 문제에서는, 모든 케이스를 구분짓는 핵심적인 요소는
이 3의 배수인지 아닌지의 여부입니다.
먼저, (가)를 보고
은 3의 배수가 아니기에
일 것이라고 먼저 확정해야합니다.
(나)를 본 뒤,
이미 모두가 알고 있는 ‘일단 넣고 보자’ 식으로
먼저 대입을 해봐야 합니다.
그러나, 만약을 시작으로 전개를 하려고 하면,
너무 많은 경우의 수가 나옵니다.
그래서 보통 해설을 보면 통상적으로부터 역추적하는 방법을 사용하곤 합니다.
그러나, 현장에서 이 문제를 직면했을 때 부터 역추적하는 것은 상당히 리스크가 있습니다.
어디까지 역추적해야 문제가 끝날지
해보기 전까지는 모르기 때문입니다.
(물론 결론적으로는 5번째 항까지만 살펴보아도 답이 나오도록 문제가 설계되었지만,
저의 경우 문제를 처음 현장에서 직면했을 때 역추적이 언제 끝날지 모르는 불확실성을 회피하고자 아래와 같은 방법을 사용했습니다.)
그렇다면 우리는 어디를 시작으로 전개해보아야 할까요?
모릅니다.
무슨 소리냐고요?
우리는 어느 항들이 3의 배수를 가지는지조차 모르고,
안다고 한들 그 항에 3분의 1을 곱했을 때 또 다시 3의 배수가 나올지 아닐지조차 모릅니다.
그래서 우리는,
3의 배수이면서, 1/3을 곱했을 때 더 이상 3의 배수가 아니게 되는 어떤 항을
k번째 항이라고 가정해놓고,
라고 설정한 뒤 거기서부터 나열해보는겁니다.
이렇게 설정해놓은 뒤 라고 하면, 문제없이 1~k번째 항은 자연수가 되므로 ‘모든 항이 자연수인가?’에 대해서도 걱정할 필요가 없습니다.
이제 에서부터 전개해보면
... 5항 주기로 반복됨을 알 수 있습니다.
이므로, 40이 1, 4, 5의 배수임을 고려해보면
또는
또는
을 만족할 것입니다.
k=4일 때,
그러므로
k=5일 때,
그러므로
k=6일 때,
그러므로
따라서의 최댓값과 최솟값의 합은 224입니다.
순수한 귀납적 추론을 요구하는 수열 문제에서
‘나열하면서 규칙 확인해보기’는 필수입니다.
그러나, 단순히 아무 생각없이 나열하는 것 보다는
상황에 따라 어떤 식으로 흘러갈지 대략적으로 추측해보고,
부호 / 3의 배수 여부 등 문제의 상황을 가르는 핵심 요소에 집중하여 이와 관련된 성질을 미리 파악하고
나열을 시작하면 훨씬 문제를 푸는 과정과 시간이 단축됩니다.
그렇다고 해서, 귀납적 추론을 요구하는 문제에서 ‘규칙을 반드시 찾고야 말겠어’라는 생각으로,
나열을 하지도 않은 채 모든 규칙을 찾아내려고 무모하게 시도하는 것은 오히려 시간 낭비일 수 있으므로
귀납적 추론을 베이스로 깔고 가되, 언제나 문제의 방향성을 염두해 둔 채로 수열 문제에 접근했으면 좋겠습니다.
현재 저희 Team BLANK의 기출문제집 제작이 70% 이상 완성되었습니다.
저희는 기출문제집은 엄밀한 논증 또는 해설지다운 해설보다,
직관을 사용하여 최대한 간결하고 깔끔하게 문제를 해결할 수 있는
해설을 여러분들께 제공합니다.
많은 관심 부탁드립니다 :)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
영어 유기하는 중이라니까 와서 풀고가라는데 감사하넹
-
ㄴㅇㅁ 저거.. 왜 저게 실검임
-
어떤분은 또 괜찮다고 하시네 머가 맞는걸까
-
으악으악 여자고 3수해서 대학 왔고 이제 하면 4수인데.... ㅜㅜㅜ 편입이든...
-
한석원 4의 규칙 시즌1 난이도 3점문항대라고 들었는데 맞음?
-
사탐관련소신발언. 17
솔직히 갖은 이유 대면서 여기서 저기로 저기서 또 다른 걸로 사탐 과목 바꾸는 거...
-
어쩌다 유툽에서본건데 베트남여성이 어느날부터인가 막 자도자도졸리고 몸이 피로하고해서...
-
존나 재벌 개백수인가
-
남자 체지방 7%인데..
-
물론이상한글말고 메인이너무적으니깐 눈팅러들이옯을잘안옴 재밌는글에 좋아요 열심히 달아주는중
-
할거 없을땐 0
모든 댓글과 글에 좋아요를 누른다 심시해요
-
뭔가 기분이 이상해…
-
"1000엔 짜리 라멘 누가 먹겠냐"…'사중고' 버티는 일본 라멘집 2
일본에서 국민음식인 라멘(우리말 라면)이 위기다. 지난해에만 63곳의 라멘집이 문을...
-
팀플 아예 없는거로 아는데 맞나요? 혼자만 잘하면 되죠? 중간/기말/+@과제...
-
(물론 비유적인 표현)
-
안녕하세요 군대 가서 수능 준비할 생각이라 시간이 부족합니다 ㅠ 그래서 올해는...
-
벤치 30키로(봉무게 포함) 6개가 한계임 53키로에서 7키로 증량한건데 벤치 원래...
-
너네 의견좀
-
음.. 음.......
-
전업으로 공부해도 모자랄판에 운동이랑 병행하니 각이 전혀안나옴 ㅜㅜ sky 체교만...
-
유우카발닦개님어디갔어
-
20살 되고나서 이상하게 엄청 자주생김.. 한달에 한번꼴로 목이 따끔거리고 쓴물 올라와
-
시간이 부족해서 수면 시간을 줄여야 하나 싶은데 4,5시간식 자는거와 6,7시간씩...
-
뭐가 더 나은가요
-
[단독] 코로나 때도 '최후의 보루'…정부, 군의관 키울 '국방의대' 추진 1
의대 정원 확대를 둘러싼 의·정 갈등이 장기화하는 가운데 정부가 공공의료 강화를...
-
공부 잘하거 같이 생김 그래서 대학에서도 친구들이 나 잘하는줄 앎
-
시대갤같은데 제외하고는 걍 열등감 이런거 안느끼고 재밌게 지낼 수 있음
-
솔직히 거품 다빼면 충남대 아니노
-
국내선 아직인데…'드럼통 살인' 용의자 실명·얼굴 공개한 태국 2
태국 언론이 한국인 관광객을 살해하고 파타야 저수지에 시신을 유기한 혐의를 받는...
-
수능 수학 95점? 10
???
-
허리가 찌릿찌릿한거면 디스크 초반인가요…
-
스펙 개높은데 원딜로서 침이 줄줄 흐른다 그냥
-
대구 2호선 계명의 경북의 영남의
-
개인적으로 약간 근육질에 글래머러스 누님취향인데 나같은 남자애들 있음?
-
이감 시즌3 1
이감 시즌3 123회 다풀어봤는데 뭐하나 쉬운회차가 없네 딴 실모보면 그래도 90은...
-
진짜 이젠 답도 없다
-
다시 공부를…
-
인덱스 끝 0
간지
-
반밍아웃했다 0
허허허
-
이건 막 그렇게 이상한 문장 아니지 않나요?? 저도 친구들 따라 술집 가는데 술 안 마신 적 많은데
-
알려주세요.
-
연애 하고싶다 2
그 사람과
-
심지어 창문에 푸른하늘도 보이고 빛도 들어옴.. 나무 흔들리는 것도 보이고 동국대...
-
왜 대학 학점따기가 10
고등학교 등급따는것보다 쉽지 ㅇㅁㅇ
-
빈곤층 공부 더럽게못함+저능 와꾸 한남콘 루저 키사이즈 집안도 병신 온갖 병증...
-
우리끝까지건강하자 12
요즘사람이걸어다니는종합병원이네.. 아프지않기
-
전과목 1.6 1.0 1.2 1.0 1.26(예상) 이고 의대 희망인데 치대도...
-
난이도가 높은건 알고있는데
-
없을 것 같으면 백양로 와보면 됨
기출문제집 정말 기대가 되는군요
헉
8개년 평가원기출을 수록한다 하셨는데, 선별문제들인가요?
아님 8개년 평가원 준킬러,킬러를 다 포함하신 문제집인가요?
빨리 나왔으면..ㅠㅜ