등가속도 운동문제 비율로 푸는 법

안녕하세요. 어쩌다보니 물리1만 3년째 하고 있는(n수생은 아닙니다!)평범한 대학생입니다. 많은 학생들이 물리1을 처음 접할 때, 비율로 풀기보다는 미지수 설정(시간, 거리 등등)을 하고 여러개의 식을 세워 연립을 통해 풉니다. 저도 처음에는 그렇게 풀었지만 3년동안 물리공부를 하고 가르쳐오면서 암산 + 비율풀이를 더 쓰는 자신을 발견할 수 있었습니다. 

이 글은 통해 어떤식으로 사고를 해야 비율만 가지고 문제를 풀 수 있는지에 대하여 이야기해보겠습니다.

기본

우선 비율풀이의 근본적인 원리는 "두 경로를 비교 할 때 나머지 변수의 비를 알면 구하고자 하는 물리량의 비를 알수있다"는 것입니다. 

이 식은 변위, 평균속도, 시간 이렇게 3개의 변수로 이루어져 있습니다. 3개의 변수 중 2개의 비를 알면 나머지 1개의 비가 나옵니다. 예를 들어 시간의 비가 1:2 이고, 평균속도의비가 2:5 라는 것을 문제조건을 통해 알아냈다면 두 비율의 곱인 1:5가 변위의 비일 것임은 쉽게 알 수 있습니다. 혹은 변위의 비와 시간의 비를 주고 평균속도의 비를 구해야 할수도 있고, 변위와 평균속도의 비를 주고 시간의 비를 알아야 할 수도 있습니다. 아래 예시를 봅시다.

(2022 6평)

위 문제에서 A가 P에서 Q까지 이동하는 경로와 B가 R에서 Q까지 이동하는 경로를 비교해봅시다. 문제에 주어진 정보들을 모두 종합하면 시간은 1:1, 변위는 1:3, 가속도의 크기는 1:1임을 알 수 있습니다. 그림의 빨간색 손글씨처럼 S=vt에 의해 평균속도가 1:3임을, Δv=at에 의해 속도변화의 비는 1:1이라는 새로운 정보를 얻을 수 있습니다. 

속도변화의 크기가 같으므로 위 그림과 같이 Q에서 속도를 각각 v-α, 2v+α로 설정하고, 속도합이 1:3임을 이용하면 α=v/2가 나와 주요위치에서 속도를 전부 알 수 있습니다.

이런식으로 문제의 조건들을 보면서 모르는 비율을 오로지 머릿속에서만 알아내는 것이 비율풀이의 중요한 태도입니다. 이 문제는 쉽기 때문에 알아내는 것이 그리 어렵지 않았고, 이해를 돕기위해 그림에 식을 써놓고 비율계산을 했지만 결국 식을 머릿속에 떠올리고 할 수 있어야 합니다. 하지만 이것을 현장에서 시도해보면 문제가 더 복잡해지고 시간압박이 생기면서, 머리릿속에서 비율계산하는 것이 꼬여버리고 등식들을 이리저리 넘기며 우왕좌왕하다가 결국 시험지에 식을 세우며 연립하는 풀이로 돌아오기 마련입니다. 따라서 원하는 물리량별로 식의 형태를 외워버려 파블로프의 개마냥 변형된 형태를 바로바로 떠올리는 연습을 해야 합니다. 이어서 이에 대한 설명을 이어나가겠습니다.

활용 

먼저 다음 등식을 생각해봅시다.

 변수가 3개이므로 당연히 다음 3개의 상황이 가능합니다.

1. 변위의 비와 시간의 비를 알고 평균속도의 비를 모르는 경우

2. 시간의 비와 평균속도의 비를 알고 변위의 비를 모르는 경우

3. 변위의 비와 평균속도의 비를 알고 시간의 비를 모르는 경우

위 상황중 평가원에서 가장 많이 출제되는 것은 1번상황이고, 2번상황은 교육청과 사설문제에서 다음으로 많이 나옵니다. 3번의 상황은 가장 나오는 빈도가 적어 일단 1번과 2번에 먼저 익숙해집시다. 각각의 상황에서 식 변형을 해봅시다.

1. 속도를 모를 때

  즉 (변위의 비)/(시간의 비) =(속도합의 비)

2. 거리를 모를때 

즉 (속도 합의 비) × (시간의 비) = (변위의 비)

네 정말 당연한 사실입니다. 하지만 이것을 구구단 처럼 뇌를 거치지 않고 튀어나올 정도로 외워놓아야 현장에서 우왕좌앙하지 않습니다. 현장에서 머릿속으로 식들을 이리저리 변형하고 있으면 안됩니다.

특정 속도를 모른다? --> (변위의 비)/(시간의 비)를 계산하여 속도합을 이용해 모르는 속도를 알아내자

변위를 모른다? --> (속도 합의 비) × (시간의 비)를 계산하여 모르는 변위 알아내자

이것을 파블로프의 개처럼 외워놓읍시다. 기출문제를 통해 예를 더 들어보겠습니다.

적용

[Εx1]2023 3월학평

이 문제를 읽으면서 머리속에 들어야 하는 생각은 다음과 같습니다. 

1. A와 B가 같은시간동안 같은변위를 갔네! --> S/t가 1:1이니 속도 합도 1:1일 거야! 

(머릿속에서 S=vt를 떠올린 후 t를 넘기는 것이 아니라 그냥 S/t의 비가 속도합의 비임을 외우고 있어야 합니다)

2. A와 B가 같은시간동안 가속도의 크기가 1:7이네! --> 속도변화가 1:7일 거야!

떠올린 것을 적용하기 위 그림처럼 먼저 기준선 Q에서 속도를 v-α, -v+7α라고 설정하고 속도합이 같다는 식을 세워 α를 구하면, 주요구간에서 모르는 속도들이 모두 튀어나옵니다! 이제 문제에서 구하라는 것을 구하기 위해 A, B의 속도가 같을때가 언제일지를 생각해봅시다.

이렇게 걸린시간과 변위가 모두 같은 상황은 사실 유명한 상황이기 때문에 물리1을 어느정도 해본 학생들은 바로 중간시각일 때임을 알 수 있습니다. [이런 상황을 처음 보는 학생들을 위해 설명하자면, t초동안 평균속도가 v라고 할때 중간시각인 t/2초일 때 정확히 순간속도가 평균속도인 v와 같아집니다. 이 문제에서 A와 B의 평균속도의 크기가 같고, 걸린시간도 같기 때문에 둘다 "걸린시간/2"초가 지난 후 평균속도가 순간속도가 되어 속도가 같아지는 것입니다.] 즉, 위 그림처럼 t0의 시간이 흐른 후 다시 t0가 흐르면 A가 정확히 Q에 도달합니다! 그러면 가속도가 일정하므로 각 t0초 동안 A의 속도변화도 같을 테니 t0초가 지난 후 A의 속도는 v와 v/2의 중간인 3v/4일 것입니다.

이제 구하라는 것을 구해봅시다! 우리가 알아야 할 것은 A가 t0초 동안 이동한 거리입니다. 

위에서 거리를 모를 때는 (걸린시간비)×(속도합의 비) 가 (변위의 비) 임을 떠올리자고 했었죠? 

위 그림에서 "A의 처음 t0초 동안의 경로"와 "그 다음 t0초동안의 경로"를 비교해보면, 걸린시간이 같고 속도 합이 7/4 : 5/4 = 7:5 이므로 변위가 7:5입니다. 따라서 구하라는 t0초 동안의 이동거리는 전체 길이인 L의 7/12가 되는것을 알 수 있습니다.(답, 4번)

이 문제를 풀면서, 모르는 속도를 알기 위해 S/t의 비가 속도합의 비임을, 모르는 거리를 알기위해 v비×t비가 변위의 비임을 이용했습니다. 생각보다 쉽지 않은것이 느껴지시나요? 현장에서 이렇게 풀 수 있으려면 계속 강조하지만 식의 변형된 형태 자체를 파블로프의 개처럼 외우고 있어야 합니다.

[Ex2]2021 수능

이 문제는 물리1 공부를 조금이라도 했으면 모르는 사람이 없을 것 같습니다. 일단 위 그림처럼 각 물체의 경로를 그려봅시다. 경로를 그릴때 저는주요구간의 속도는 무조건 한번 더 표시를 해주고, 각 경로의 정보들을 표시합니다.(가속도, 시간, 변위 등) 또한 동시에 일어난 경로는 경로위에 같은 모양의 문양을 통해 표시합니다. (물론 이 문제는 경로가 너무 단순해서 그럴 필요까지는 없지만 미리 연습하는 겸 표시했습니다.)이제 이 문제를 보면서 머릿속에서 해야하는 생각들을 나열하겠습니다.

1. 같은크기의 힘을 받는데 질량이 A가 두배이니 가속도의 크기는 B가 두배!

2. 동시에 일어났는데 가속도가 B가 두배이니 속도는 B가 두배 변하네! --> B의 속도가 v/2감소했으니 A의 속도는 v/4 감소하여 3v/4가 되겠네!

위 그림처럼 알아낸 3v/4를 표시합시다! 이제 구하라는 x값을 구합시다. 이것도 이전문제와 마찬가지로 거리를 모르기 때문에 무엇을 떠올려야 될까요? 네! 바로 시간의 비와 속도합의 비를 곱한것이 변위의 비라는 것입니다. 빨간색으로 표시한 두 경로를 비교하면 같은시간동안 속도합의 비가 7/4:3/2 =7:6이죠? 따라서 2d 의 6/7배인 12d/7 가 d+x이니 x=5d/7입니다! (처음에 이런방식으로 하기 어려우시면 그냥 2d : d+x = 7:6 이라고 비례식 세우고 계산해도 됩니다:)

이 문제도 마찬가지로 변위의 비를 모르니 (속도합의 비)×(시간의 비) = (변위의 비)인것을 바로 떠올려야 하는 쉬운 문제입니다! 마지막 한 문제만 더 풀어보겠습니다!

[Ex3]2024 수능

2024수능문제입니다! 이 문제도 먼저 읽으면서 정보를 표시합시다. 가속도가 2/3배이고 시간이 1/2인것 등등!

 경로들에 정보표시를 한 것이 보이시죠? 여기서 중요한 것은 B의 시간을 t, 2t라고 설정하면 A는 총 3t만큼 걸린다는 사실과 가속도의 방향이 둘의 속도가 감소하는 방향이라는 것입니다!(B가 Q에서 R까지 가는 동안과 R에서 S까지 가는동안 걸린시간이 t에서 2t로 늘어났으므로) 물론 가속도 방향을 몰라도 이 문제는 풀 수 있습니다.(뒤에서 이야기 하겠습니다!)자 그러면 이 다음 할 수 있는 생각들이 무엇이 있는지 보겠습니다!

(편의상 각 경로를 1번 경로, 2번 경로, 3번 경로라고 하겠습니다.)

1. 1번, 2번, 3번 경로에서 가속도와 걸린시간을 모두 알기 때문에 속도변화 비가 6at : 3at : 6at =2:1:2인것을 알 수 있습니다. -> 그림과 같이 저요지점의 속도를 α로 표시합니다.

2. 각 구간에서 S/t의 비를 이용해 속도합의 비를 모두 알 수 있습니다. 경로1, 2, 3에서 속도합 = 2 : 2: 1

먼저 α를 없애기 위해 2번경로와 3번 경로에서 속도합이 2:1인 것을 이용하면 2vB - α = 2×(2vB - 4α) 이므로 α = 2vB/7입니다. 이를 대입하면 다음과 같습니다.(아래그림 참고)

마지막으로 vA와 vB를 연결하기위해 1번경로가 포함되도록 두 경로를 잘 선택해서 속도합의 비를 계산해주면 됩니다. 마침 1번경로와 2번경로의 속도합이 같으니 이를 이용하면 2vA - 4vB/7 = 12vB/7 이므로 vA=8vB/7입니다.(아래그림 참고)

그래서 답이 4번이 나오네요!

아까 가속도 방향을 몰라도 된다고 한것은, α를 설정할때

α들을 더해서 설정하면 속도합 계산을 했을때 α가 자연스럽게 음수가 나와 똑같이 나옵니다!

또한 속도합이 2:2:1인것을 알았으면, 사실 제가 푼 순서대로 하지 않고 그냥 3개 중2개의 경로를 골라 속도합의 비 계산하는 것을 2번만 하면 vA, vB, α로 이루어진 식이 2개가 나올것이고, 그 두 식을 연립한다는 느낌으로 풀어도 상관없습니다!

예를 들어 1번경로와 2번경로의 속도합이 같고, 2번 경로와 3번경로의 속도합이 2:1이니 식 두개를 세우면, 

이 두식을 그냥 연립하면 됩니다!

마무리

오늘은 이렇게 비율풀이에 대한 가장 기본적인 내용을 했는데요, 오늘 풀었던 문제들은 대부분 시간정보가 풍부한 문제들입니다. 하지만 시간정보가 풍부하지 않을때 써야하는 공식인 2aS = Δ(v^2) 은 평가원에서 그렇게 많이 출제되지는.않습니다.(정확히는 비율을 알아내기 위해 이용되지 않고 마무리로 답을 구할때만 사용되었음) 하지만 교육청이나 사설에서는 정말 먾이 출제되니 다음 올릴때는 2aS =Δ(v^2)의 쓰임에 대한 이야기를 하려합니다! 감사합니다!