벡터를 활용한 2차원 등가속도 운동 풀이 (1) 중력 끄기

말출까지 시간 드럽게 안가네요. 심심하니 물리2 칼럼을 써볼게요.

들어가기에 앞서, 2차원 등가속도 운동 파트에서 기본적인 풀이은 '평균 속도를 활용한 풀이', '등가속도 운동방정식을 활용한 풀이'입니다. 벡터 풀이를 잘만 쓰면 평균 속도 풀이보다 빠르게 문제를 풀 순 있지만, 기본적으로 평균 속도 풀이법을 통해 문제를 풀 줄 아는 상태여야 합니다. 따라서 3등급 이하는 스킬을 익히되, 위에서 언급한 기본 풀이로도 꼭 문제를 풀어 보셨으면 합니다. 벡터 풀이법은 특수한 상황에서만 유용하게 쓰이거든요.

일단 벡터 풀이법을 익히기 전에 여러분들은 '중력 끄기' 스킬을 익히셔야 합니다. 

'가속도 끄기'로도 불리는 이 풀이는 상황만 맞아떨어지면 복잡해 보이는 문제를 눈풀로 3초컷 낼 수 있는 유용한 스킬입니다. 문제를 보면서 설명할게요. 따끈따끈한 24수능 기출입니다.

해설도 보죠.

풀이를 보면 아시듯이 13번 문제는 정석적으로 풀어도 어려운 문제는 아닙니다. 

먼저 B의 수평 이동 거리를 통한 t에 대한 식을 구합니다. 

이후 A에 대한 등가속도 운동방정식, B에 대한 등가속도 운동방정식 써서 1/2gt^2이 똑같으므로 소거해서 답을 구해내는 풀이이죠. 이렇게 풀어도 한 30초 안에 풀리니까 괜찮죠.

하지만 중력 끄기를 쓰면 이 문제는 눈풀로 3초 컷이 가능합니다.

저 직각삼각형에서 tan(theta) = 2는 바로 보이므로, 답 찍고 넘어갈 수 있는 거죠.

해설을 하자면, A와 B는 운동 시작/종료 시간이 같습니다. 받는 가속도의 크기와 방향 또한 같죠. 그렇게 되면 A와 B가 받는 가속도 벡터가 동일하게 됩니다. 저희가 관심 있는 건 A와 B가 만났다는 사실이므로, 중력에 의한 영향은 A와 B의 의 상대적인 위치 관계에 영향을 주지 않는다는 사실을 알 수 있습니다. 당연한 거죠? 동일한 방향으로 똑같은 거리만큼 이동했는데 상대적인 위치가 변할 리가 없잖아요. 그래서 중력이 꺼졌다고 가정하고 저렇게 A와 B가 등속 직선 운동해서 만났다고 가정합니다. 이때 수평/수직 이동 거리 간의 비율을 구해서 theta를 구하는 겁니다.

쉽게 말해서, 위 풀이에서 언급된 1/2gt^2이 같다는 걸 미리 알고 들어가는 겁니다. 그래서 '어차피 소거될 테니까 계산하지 말고 그냥 등속 직선 운동처럼 풀자!'라고 요약할 수 있겠네요.

여러분들이 중력 끄기 스킬을 적용할 때는, 세 가지 조건을 만족시키면 쓸 수 있습니다.

1. 물체 간 상대적인 위치에만 관심이 있는가

 ※ 만약 실제 위치 또한 구해야 한다면 쓰시면 안됩니다.

2. 두 물체의 가속도가 크기, 방향까지 전부 같은가.

※ 중력이면 뭐 당연히 같은데, 질량이 다르고 힘이 같다던지 훼이크를 주는 경우가 있습니다. 이 경우 심화 풀이는 다음편에 다루도록 하겠습니다.)

3. 물체가 운동하기 시작/종료한 시각이 같은가

이것까지 같아야 가속도를 통해 이동한 거리가 같겠죠? 

이 세 조건을 만족시키면, 위와 같이 중끄 스킬을 적용해서 문제 풀이를 빠르게 할 수 있습니다. 다만 조건이 꽤나 한정적이죠? 그래도 잊을 만하면 자주 등장하는 상황이니 익혀 두면 두고두고 써먹을 수 있습니다. 올해 수능도 이걸로 시간 톡톡히 아꼈고요.

다음 편에서 소개드릴 벡터 풀이법은, 좀 더 확장적으로 쓸 수 있는 중력 끄기 스킬입니다.