삼차함수 정적분 공식 (feat. 24수능 12번 계산줄이기)
아시는 분은 대부분 아시는 내용이겠지만 6평때 엄청 핫했던 걸로 기억하는데
이번 수능에서는 12번 계산이 엄청 더럽다라는 이야기만 많고
적용해서 풀이해주신분이 안보여서(계실텐데 제가 못찾았겠지만요) 글 하나 작성합니다.
삼차함수 f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c) 에 대해서 (a,b,c가 모두 다른 실수일 필요없고, a,b,c의 대소관계에 무관하게)
a에서 b까지 f(x)의 정적분값을 "비교적 쉽게" 계산할 수 있는 정적분공식이 있습니다.
이는 삼차함수의 점대칭성을 이용하는 방법이고
위의 삼차함수꼴을 점 ((a+b)/2,0)에 대해 점대칭인 삼차함수 와 이차함수의 합으로 변형하는 게 주요 원리입니다.
(수식이 가운데정렬이 되는데 수정하는 방법을 몰라 그대로 쓰겠습니다.)
이렇게 식을 변형할 수 있는데요.
이 중 왼쪽의 정적분의 피적분함수인 삼차함수는 점( (a+b)/2 ,0) 에 대해 점대칭인 함수이고 적분구간이
대칭구간이므로 정적분값은 0입니다.
따라서 f(x)의 정적분값은 오른쪽의 이차함수의 정적분 값과 같고
이는 잘 알려진 이차함수의 넓이공식을 통해 구해낼 수 있습니다.
사실 정적분 값이기에 부호도 유의미하지만, 넓이의 부호를 잘 알수 있는 경우라면
절댓값만 기억하셔도 꽤 유용하겠죠.
직관적으로 공식을 기억하는 방법을 설명드리자면
(정적분구간의 윗끝과 아랫끝의 평균과, 정적분구간이 아닌 x절편의 차) * 이차함수 넓이공식 입니다.
또한 여러분이 잘 알고 계시는 한점이 접점일때의 공식도 같은 방법으로 유도가 가능합니다.
f(x)=(x-a)(x-b)^2 = (x-a)(x-b)(x-b) 이므로
a부터 b까지 정적분공식은 a,b의 평균값에서 나머지근 b를 빼면 (a-b)/2 가 되고
여기에 이차함수의 정적분공식 - (b-a)^3/6 을 곱해주면
(b-a)^4/12 가 완성됩니다.
간단하게 연습해보겠습니다.
1) f(x)=(x-1)(x-3)(x-9) 일때 1부터 3까지 f(x)의 정적분값
머릿속으로 간단하게 개형을 그려봅니다.
1부터3까지 구간은 f(x)가 x축 위로 올라간 부분이겠죠. 그럼 결과값이 양수일테니 부호는 신경쓰지말고
절댓값만으로 생각해보겠습니다.
1과 3의 평균 2와 나머지근 9와의 차이 7
이차함수 넓이공식 2^3/6= 4/3 의곱 28/3
2) f(x)=(x-1)(x-3)(x-9) 일때 1부터 9까지 f(x)의 정적분값
위에서 그린 개형을 생각해보면 근의 간격 덕분에 (함수값이 음수인 간격이 더 넓으니)
정적분값이 음수겠네요.
1과 9의 평균 5 나머지근3과의 차이 2
이차함수 넓이공식 8^3/6=256/3 이므로 정적분값은 -512/3
실전문제에 적용해봅시다.
다음 문제는 6월모의고사 10번 문항입니다.
문제에서 제시된 (A의 넓이)-(B의 넓이)라는 조건이
0부터 3까지 f(x)의 정적분값을 의미합니다.
0과2의 간격이 2와3의 간격보다 넓으니 정적분값은 양수일테고요.
0과 3의 평균인 3/2 와 나머지근 2와의 간격 1/2 에다가
이차함수 넓이공식 27/6 그리고 삼차항계수 k를 곱해주면 3이나온다.
이제 k의 값을 구하는 건 일차방정식..
진짜 본론으로 들어가서
올해 수능 12번 문제이고 당일날 풀이를 캡쳐한 것입니다.
(https://orbi.kr/00065167234 여기에 전문항(기하제외) 손풀이가 있습니다.)
넓이가 최대이려면 기울기가 -1인 접선의 접점중 x좌표가 0과 6사이에 있는 점의 x좌표가 t인것의 해석은 당연하고
t=3을 찾는 과정은 생략하겠습니다.(실제 넓이를 구하는 과정의 숏컷이 본 내용인지라..)
(저는 간격곱을 이용했습니다. 궁금하시면 댓글 달아주세요)
구하는 부분의 넓이를 다음과 같이 해석할 수 있습니다.
원점과 (3,6)을 지나는 직선 y=2x 가 f(x)와 만나는 점 중 원점과 (3,6)이 아닌 점의 x좌표는 12입니다.
(f(x)=0의 세 근의 합이 15 이기 때문에 0+3+12=15)
따라서 (y=f(x)와 y=2x 가 구간 [0,3]에서 둘러싸인 넓이) + ((0,0), (3,6), (9,0) 을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이)
가 구하는 값이 되겠습니다.
f(x)-2x=1/9 * x(x-3)(x-12) 이므로 삼차함수 정적분 공식을 사용해보면
(y=f(x)와 y=2x 가 구간 [0,3]에서 둘러싸인 넓이) = 1/9 * 12/2 * (27/6) = 21/4
((0,0), (3,6), (9,0) 을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이)= 1/2 * 9*6=27
이므로 답은 129/4 임을 알 수 있습니다.
위의 설명이 부족하실까봐 부연설명 그림하나 첨부하며 글을 마치겠습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
안정2이상 목표인데 미적.화학.지구 과목별로 실모 추천좀 부탁드립니다!
-
상사상애 6
가 아니야~ 의심할 여지도 없이 사랑은 없어
-
2등급 통통이임 정병호t: 이해 잘 되고 강의템포가 무난무난해서 전체적으로는...
-
분위기 환기용 10
키타짤 투척
-
“남편 기일에 큰 선물 받아”…명절에 더 그리운 가족·동료 위한 소방청 영상 1
“오늘(17일)이 기일이거든요. 누군가 그 하루라도 ‘이런 소방관이 있었지’ 하고...
-
찾으면 금방 나오는 걸 왜.. ㅠㅠ 아쉽습니다
-
감다디젹네 0
도용은 맛이없어요 가루씨
-
늦은시간이지만 6
즐거운 추석 되세요
-
운동하고 오는길에 찍었어요 잘찍었죠 히히
-
할머니댁인데 답지를 안가져왔...
-
투과목을 한다는건 18
의대에 갈 확률을 낮추는 속박으로 서울대 가산점을 얻는다는것
-
수능특강, 수능완성 주요문항 정리교재입니다.
-
너무 어려운거 말고 이해원 시즌2 모고정도면 풀만해서 그정도나 혹은 그거보다 좀 더...
-
난 겨우 간쓸개 1일차 토탈리콜 강의 2개 듣고 열심히 했다고 좋아함.. 열품타...
-
강대 x만 살수는 없는거죠?
-
수능 두달전 느낌이 안나잖아;;; 나 아직도 선풍기없으면 잠을못잔다.. 날씨체감상...
-
고2 모고 최소 몇까지 가능하다고 생각하시나요 영어 4-5 나오는 허수인데 구문공부...
-
근데 허수를 벗어날 수 없어서 수시 제발 붙여달라고 조상님 38161명께 비는중
-
좋아요.. 눌러야겠디?? 혹시라도 잘못 정리한게 있다면 댓글 달아주세용 1단원...
-
형 밥 먹고 온다
-
나 이제 자러 갈게 내일 다시 자극적인 글 생각해올게
-
정신나갈꺼같다
-
나무위키에 김세홍좀 검색하려고 구글켰는데 나무위키라는 말을 까먹어서 끙끙앓다가...
-
사탐 안받는다는데 이거 진짜임?
-
현역 4?5? 재수5등급 받고 삼수부터 쭉 1만받음 걍 공부법문제임 공부량은...
-
보름달이 밝구만 1
밝다 소원 빌어야 하는데
-
나였으면 내 대에서 그 빌어먹을 유전자 끊어버렸음
-
영어는 사람 ㅅㄲ면 최소 2등급은 나와야 하는 거 아님? 워마 2000 영단어 다...
-
밥 먹으니까 지금 딱 자면 달콤할 것 같은 잠 온다…. 이 잠을 못 자다니…..
-
윈드러너, 몬스터 길들이기, 템플런
-
이미 고백해버려서 어쩔 수 없구만 크리스마스에 운명처럼 100일 되는 건 아쉽지만 없는걸로
-
애초에 남자가 X 두개 가졌으면 유전 걍 껌이었겠지 솔직히 얘네가 X 한개만...
-
결국 명확한 근거 제시를 못하는 낭설에 불과하지만 그렇다고 확실하게 아니라고 하기도...
-
자세히 반박하는 논저로는 허수열 교수의 "개발 없는 개발"이 있으니 꼭 읽어 보시길 바랍니다
-
블랙1회 : 47 시간 빡빡했고 기출베이스에 조금씩 매운맛 넣은건데 9모보다 게...
-
함들어서 하지말라는건가요 아님 비효율적이라 하지 말라는건가요?
-
당사자들이 내 글 접하면 큰일 남
-
사연없는 정시파이터는 없더라
-
맞춰보세요
-
일단 본인은 100점 1등급 몇 퍼센트 나올까 작수가 4.7%였음
-
NFT 0
대충 두탕이 사진
-
좀 골때리는 일 있었음
-
뭘 다시 자꾸 써오래 시@봉방것아
-
...
-
고정 50박는 쌉고능아 아닌이상 그냥 국수에서 안정적으로 잘 맞고 들어가는게...
-
사촌언니가 1학년 때 학점은 조금 낮아도 괜찮다면서 9
자기의 학점 가장 낮은 학기를 보여줬는데.. 3.76/4.5였다. 난 슬퍼졌다.
-
아는 사람이 없어서 고백을 못함 가족이 없어서 추석에 갈 데도 없음 8수, 할 거지? 물론
-
안녕하세요! 대치예섬학원에서 수능 수학가르치고 있는 김지형T입니다. 열심히 수능...
고2 내신 대비할 때 처음 배우고 여태까지 낭낭히 쓰고 있는 공식인데 생각보다 많이들 안 쓰시는 것 같기도 하고,, 좋은 글 감사드립니다
https://youtu.be/OMiJ0DlWoUo
해당 문항 영상링크도 공유합니다.
간격곱이 뭔지 혹시 알 수 있을까요? 검색해도 잘 안나와서,,
아 저는 예전부터 간격곱이라고 칭하고 부르는데, 최근에 "거리곱"으로 더 잘 알려져 있더라고요.
거리곱으로 검색하셔도 좋고요.
제 모고풀이영상중에 간단히 소개한 내용이 필요하시면 링크 드릴게요.
https://youtu.be/xqDjF8ejdqg
이 링크에서 8번문항 보시면 됩니다.
https://orbi.kr/00064393153
여기에도 수학문만중수 님이 올려주신 간격곱 적용 기출문항이 있어요