6모 14번 논란 정리
논란이 된 부분: 위치의 변화량은 벡터에 속하는 물리량이다. 상식적으로 벡터 자체를 갖고 '대소 비교'를 할 수는 없다. 3차원 벡터 공간을 생각할 때에도 시점이 원점이고 종점이 각각 (1, 2, 3), (-1, -2, -3)인 두 벡터 A, B에 대해 A와 B의 대소 비교를 할 수는 없다. 단, 벡터의 크기를 벡터의 시점과 종점 사이의 거리로 정의하기 때문에 벡터 A와 B의 크기는 각각 sqrt14가 되어 일치함을 확인할 수 있다. 따라서 위치의 변화량의 대소를 비교할 수는 없다.
팩트 1. 스칼라는 크기만을 갖는 물리량이고 벡터는 크기와 방향을 갖는 물리량이다. 이는 물리학에서 벡터를 정의하는 방식이다. 반면 선형대수학에서 벡터는 벡터 공간의 원소로 정의한다. 벡터 공간은 합과 상수배를 정의할 수 있는 대상의 모임으로 대표적으로 n차원 벡터 공간이 있다. 쉽게 말하면 2차원 (평면), 3차원 (공간) 등이다.
팩트 2. 벡터의 물리학적 정의를 생각해볼 때 1, pi, e와 같은 실수는 스칼라에 속해보인다. 하지만 선형대수학에서 벡터 공간을 정의하면 실수는 벡터에도 속할 수 있다. 바로 1차원 벡터 공간을 생각해봄으로써 이 벡터 공간의 원소로 실수를 벡터라 정의할 수 있다.
팩트 3. 수학2 교과서에서 변위를 정적분값을 정의하기 때문에 변위는 하나의 실수값에 해당된다. 이때 실수 또한 벡터가 될 수 있음을 확인했기 때문에 문제 없음을 확인할 수 있다. 그리고 실수 간에는 대소 비교가 가능하기 때문에 벡터 간에도 대소 비교가 가능한 때가 있다는 결론에 도달할 수 있다. 앞서 말했듯 이는 1차원 벡터 공간에서 벡터를 정의할 때를 포함한다.
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이런 문제는 어떻게 고쳫야 할까요? 일단 제가 생각해본 해결법은 최대한 해설을 보지 않고 미지수 최소화 식을 직접 작성할때까지 고민하는 것인데, 결론이 또 열심히 공부하기 인것 같아서 마음이 답답합니다
도형 문제는 미지수 잡아 연립방정식 푸는 것도 좋은데 우선 펜을 쓰지 말고 머릿속으로만 문제를 푸는 훈련을 해보세요! 이때 구체적인 수치를 낸다기보다는 “어쨌든 내가 이 변의 길이는 구할 수 있으니까 구했다고 가정하고 그 다음에 뭘 할지 생각해보자”라는 생각이 핵심입니다.
저는 이 방법을 한완수에서 배웠고 따라하다보니 자연스레 도형 문제는 항상 펜 내려놓고 풀이 방향부터 잡은 후에 접근해서 웬만하면 100분 내에 푸는 것 같아요 (물론 정 안보이면 sin법칙 cos법칙 갈기며 막 구해봅니다 ㅋㅋㅋㅋ 좌표를 올리든 대충 눈대중으로 찍어보든)
아.. 감사합니다 하 도형은 너무 어려운게 정말 그 짧은 풀이를 도출해 내는게 좀 어려운거 같아요
저도 한완수에서 먼저 설계하고 풀어야 한다 보고 많이 연습하고 있는데 계속 쭉 설계하다보면 풀이가 너무 길고(그게 틀린건 아닌데 너무 긺) 해설지 보면 답을 도출하기 위해 너무 깔끔한 식을 작성해내더라고요
저는 개인적으로 짧은 풀이를 지양하는데, 현장에서 떠올리기 쉽지 않다고 생각하기 때문입니다. 그래서 차리리 주어진 상황에 따라 ‘효과적으로 작용할 수 있는 생각들’을 몇 가지 기억해두었다가 문제에서 그 상황을 만나면 나중에 알고 보니 꼭 풀이에 필요하지 않은 작업이었을지라도 일단 해두는 것이 적절하다 생각합니다.
예를 들어 이번 6모 13번의 경우 두 원의 중심에서 각각 주어진 현에 수직이등분선 내려보기? 이거 결과적으로 쓰이진 않지만 처음에 문제에서 원 주고 현에 대한 정보 준 거 확인했을 때 해보면 좋을 작업 중 하나라고 생각하거든요. 이런 것들을 정리해두었다가 다른 문제 상황에도 적용해보는 거죠!
물론 더 좋은 방법이 있겠다만 저처럼 수학적 재능 없는 평범한 사람이 해볼 수 있는 최대치가 아닌가 생각합니다. “상황에 따른 유용한 생각 정리해두고 적용해보기”