[미적 자작 문항] 등위선 (level curve), 음함수 미분법
함수
위를 움직이는 점 
과 함수 
위를 움직이는 점
사이의 거리를 
라 하자.
이때 함수 
의 최솟값과 그때의 t, u값을 구하고 이를 논리적으로 설명하시오.
조금 더 깔끔한 표현을 아래 남깁니다. 해설은 변동 없습니다.
<해설>
우선 직관적으로 찍어보기 위해 그래프를 확인해보자.
대충 왠지 (0, 1)과 (1, 0)에 위치해 답이 sqrt2가 될 것 같긴 하다.
자 이제 논리적으로 생각해보자.
이렇게 생각할 수 있고 sqrt(x)는 증가함수이니 L(t,u)는 저 [ ]에 있는 식의 값이 최대일 때 최대일 것이다.
라 하자. 이때 점 (t, e^t)를 어디 하나 잡으면 이 점은 함수 y=ln(x) 위의 점 (u, ln(u))에서의 법선의 방정식을 지날 것임을 알 수 있다.
(이는 등위선과 관련된 내용인데... 아래를 참고하자)
등위선(Level curve) 이용하여 최대/최소 문제 쉽게(?) 풀기
법선의 방정식은 다음과 같을 것이고
그럼 u와 t 사이의 관계식을 얻을 수 있다.
편하게 정리하면 이러하다.
이제 그럼 음함수 미분법을 통해 다음을 구해보면
이때 위에서 얻은 관계식에 의해 다음을 알 수 있으므로
식을 정리해보면 다음과 같다.
자 그럼 대충 t=u or t=ln(1/u)일 때 z(t, u)가 극값을 지닐테니 이때를 조사해보자.
엄밀하게 생각하면 이러한 상황이니 극값이 존재한다면 그것은 극소일 것임을 알 수 있다. (사실 이것도 직관적인 것 같긴 한데 더 이상 엄밀하게는 지금으로서 못 보이겠음)
먼저 t=u일 때는 관계식이 다음과 같이 모순이므로 (만족하는 t가 존재하지 않음)
(참고로 저 E 뒤집고 / 그은 것은 'not exists'라는 뜻이고 s.t.는 such that의 약어로 '다음을 만족하는' 정도의 의미입니다.)
t=ln(1/u)일 것이다. 다시 말해 u=e^(-t)일 것이다. 이를 활용해 관계식을 정리해주면 아래와 같다.
그럼 이를 만족하는 t를 찾아보면
t=0이다. 좌변의 함수의 도함수를 생각해보면
부호만 고려할 때 e^t에 관한 이차방정식이니 근의 공식을 생각해보면
를 만족하는 t에 대해... 대충 아무튼 그래프 그려보면 t=0이 유일합니다.
자 그럼 우리는 t=0이고 u=1일 때,
다시 말해 t=ln(1/u)이어서 z(t, u)의 t에 대한 도함수의 함숫값이 0일 때
함수 z(t, u)가 최솟값을 지님에 따라
함수 L(t, u)도 최솟값을 지닐 것임을 알 수 있습니다.
이는 점 (0, 1)과 (1, 0) 사이의 거리이므로 답은 처음에 직관적으로 예상했듯 sqrt2가 됩니다.
뭐 t로 시작하든 u로 시작하든 상관없으니 함수 L(t, u)를 u로 미분하는 쪽으로도 풀어보셔요 ㅎㅎ
이 문항은 2021학년도 9월 가형 30번에서 제작 아이디어를 얻어
2014학년도 6월 B형 30번에서 풀이의 해결책을 떠올렸습니다.
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작년 수능완성 실모 미적 30에 있던 주제네요
오 그랬군요.. 며칠 더 고민해보고 모르겠으면 찾아봐야겠어요! 감사합니다
그 기출 문항 중에 s, t 갖고 뭐 했던 거 생각해서 '법선을 지난다'까진 떠올려봤네요
원 그리면 두ㅣ진다
그 문제요?
네네 ㅋㅋㅋㅋㅋ 찾아보니 1406B30이었네요
일단 t=0일때 방정식 만족하는거 같고
맨 밑에 식의 좌변을 미분해서 t에대한 증감을 파악해봐서 t=0이 유일한근임을 밝히면 될 듯
식의 좌변을 e^t에 관한 이차방정식으로 생각해봤는데 계수에도 t가 들어가 헷갈려서.. 일단 지오지브라의 힘을 빌렸네요
둘이 y=x 대칭이니까 e^x랑 x사이에 최소거리 구하면 되는거 아닌가요 둘 사이 최소거리는 e^x의 접선중 기울기가 1인 직선과 y=x사이의 거리니까 루트2가 되겠네요
법선을 이용한 증명을 하고 싶으셨던것같네요ㅋㅋ
본문제대로 안 읽고 댓 달아버린...
맞습니다 ㅋㅋㅋ 저도 처음에 그렇게 답 냈는데 '두 함수 위를 각각 움직이는 두 점 사이의 거리'를 하나의 함수로 직접 작성해보고 싶어서 저렇게 해봤어요. (완전하게 엄밀하진 않더라도 일단) 풀이 완성한 듯합니다!