0/0 꼴 극한의 해석 (ft. 로피탈의 정리 증명)
제목이 0/0은 '영 분의 영'이 아니라 '무한소 분의 무한소' 꼴이라고 읽는 것이 더 적절하다고 알고 있습니다. 무한대와 비슷한 느낌의 단어로 받아들이시면 좋겠습니다. 그럼 시작하겠습니다!
이거 극한 어떻게 구할까요?
지금은 (분모)->0 이니 함수의 극한의 성질에 따라 lim를 분배할 수 없습니다.
대표적인 방법은 인수분해나 유리화 등을 통해 lim를 분배해줄 수 있는 상황을 만드는 것일테죠!
이럼 우리가 극한을 처리할 수 있겠습니다.
자 이제 일반적인 상황을 떠올려봅시다.
이러한 상황에서 아래 조건이 충족된다 합시다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
그럼 우리는 분모 분자에 각각 f(a), g(a)를 빼주고
분모 분자를 x-a로 나눠주고
이제 lim를 분배함으로써
주어진 극한이 아래가 됨을 알 수 있습니다.
즉, 앞으로 아래의 세 가지 조건을 만족할 때 우리는 주어진 극한을 분모 분자 각각 미분하고 독립변수 (x) 가 가까이 가는 값 (a)을 대입해주면 되겠습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
이제 로피탈의 정리도 공부해봅시다. 결론부터 말하면 이러합니다.
방금 학습한 식과 굉장히 비슷합니다. 하지만 분모 분자에 위치한 함수의 도함수가 x=a에서 연속이 아니라면 위의 식과 같은 값을 지닌다고 말할 수 없을 수 있습니다. 로피탈의 정리는 아래 조건을 만족하는 상황에서 적용 가능합니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L 이고 g(x)->L (L 자리에는 숫자 0이나 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. x->a 일 때 f'(x)/g'(x)가 수렴
증명은 아래 글을 참고하시면 좋겠습니다.
[칼럼] 로피탈은 교육과정 외가 아니다
증명 잘 보고 오셨나요?
로피탈의 정리를 적용할 수 있는 조건을 정리해보면 다음과 같습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L & g(x)->L (L 자리에는 숫자 0 or 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. f'(x)/g'(x)->k as x->a (단, k는 상수)
처음 극한을 두 가지 방법을 사용해 처리해봅시다.
먼저 조건을 확인한 후 미분계수의 정의를 활용하면
이렇게 될 것입니다.
마찬가지로 조건을 확인한 후 로피탈의 정리를 적용하면
이렇게 될 것입니다.
우리 앞으로 다항함수(수학2)든 초월함수(미적분)든 0/0꼴 극한은 위 두 가지 방법 중 하나로 처리할 생각도 해봅시다!
p.s. 처음에 함수의 극한 맥락에서 나오는 0/0 읽을 때 '영 분의 영' 말고 '무한소 분의 무한소'로 읽자고 했습니다. 이유는 그야...
있어보이니까
.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
학종 2점대 초반을 광명상가 못 붙히는 ㅈ반고 다니고 있는 고1 학생입니다 1학기...
-
공군,카투사,의무병중에
-
랩퍼블릭 보는데 7
플리키뱅 ㅈㄴ 불쌍하네 ㅋㅋㅋㅋㅋ 벌스 생각보다 많은거에 놀랏는데 다구리 지리노
-
이게 오르비지
-
요루시카처럼 휘몰아치는 느낌 나는 것도 있고 잔잔한 느낌나는 것도 있고 미세스...
-
질받해요 11
질문 없으면 조용-히 글삭을..
-
질받 21
선넘질,공부질,일상질 다 받아요 수능은 언미물2화2봐요
-
수능 전날 0
수능 전날에 다들 머하실거에요?? 전 아침에 이감풀고 남은시간 올해 6모(9모는...
-
ㅈㅂ 한 번 먹어줘라
-
난 잊어주지않을거야
-
현재 고1이고 수1 시발점, 킥오프 둘다 워크북까지 다 풀고 있는데 일주일 정도...
-
저는 그냥 지나가는 아저씨인데 여기 수험생 분들 보니까 뭔가 새롭네요 다들 수능에서...
-
올수 끝나고 떠나려 했는데 이미 오르비가 인생이 되어버린
-
큐브 근황 1
열심히 이벤트 하는데 처음 조금 줄더니 다시 수학 질문 수백개 쌓임 ㅋㅋㅋ 쌀먹충...
-
나 그때 현역 수능이었는데 노베여서 국어 3등급(백분위 78이었나 아마) 빼고 싹...
-
그랬다면 1컷이 얼마나 될까요? 45?
-
불닭 자체도 맛있고 어울리는 음식이 너무 많음 컵라면 기준 불닭 >>>>> 넘사...
-
저도 떠나가야지요..
-
벼락치기하고 감 잔뜩 끓어올리고 수능보러가쟈
-
홍대 논술본사람 3
연습지에도 샤프 못 쓰게하던데 이거맞나요.. 다른대학들도 다 그런감
-
날씨도시원해졌고... 물리력 충전을 위해
-
동서양의 조화
-
김동욱 독서 7
파이널 찍먹 해보려는데 뭐 들으면 되나요? 그읽그풀파라서 함 들어보고 싶은데 뭐 들으면 될까요?
-
확실히 15
공부 잘하는 사람들은 안 씻는듯...오늘 앞사람 냄새풍기면서 강k 90점대...
-
가장큰 고비는 넘겼군..
-
국어 영어 국사 탐구 다 맘에 드는 강사 골랐고 잘 듣고 있는데 수학만 아직 못 골랐음...
-
문돌이 고2 형이었군
-
상당히 연구해볼만한 주제인듯
-
맛있을거같음 8
먹어본사람?
-
본인특 12
해외여행 한번도 안가봄..여권업슴..
-
대충 10개푼다치면 몇문제정도 맞을려나
-
멀까?
-
심찬우배성민션티현정훈박선
-
이창무 선생님은 4
기출냄새 나면서 그 문제를 가장 심화시켜서 어렵게 만드는걸 잘하시는듯...풀이과정...
-
수학 뭐할까요? 2
2주정도 잡아두고 지금까지 푼 n제 복습 + 서킷x 1일 1회 -> 수완 + 서킷x...
-
취할래 오늘 난 4
I don't wanna get drown 약은먹어너나 이젠웃겨우울감
-
잘먹어야 건강도 안나빠지고 집중도 잘됩니다
-
번따당했는데 8
번호 줄까말까하다가 안 준게 너무 아쉽.. 그냥 냅다 줄껄 ..맘에 들었는데 너무...
-
나도 잘 모르겠다 이젠
-
일반 서바에 비해서 많이 어렵나요? 식센모랑 oz모 다 풀어서 사보려고 하는데요..
-
여행은 개인적으로 13
애지간하게 마음 잘맞거나 연인 아니면 걍 혼자가는게 맘편하고 좋은거 같아요 맘대로...
-
사실 나는 2
삼반수 시작할때 재수때 성적을 많이 올렸었기에 당연히 올릴수있을줄알았고 고려대가...
-
EBS 만점마무리 Black Edition 수학 영역 1회 후기 1
미적분 / 84점 / 예상 1등급컷 84점 12번 찍 / 14. 15. 21. 30...
-
(저출산 교권추락 연봉? 등등으로 교사 배제시켜두고 억지로 끌리는 학과 찾아보고...
-
요즘에 너무 멍- 해요 10
-
걸밴크 재밌다 5
수능접고 애니봐야지
-
수학 푸는실모마다 죄다 쳐말아먹어서그런가 ㅅㅂ 앞으로 실모 걍 안풀까함..
선좋아요 후감상!
앗 참고로 저는 '응꼴'로 읽습니다ㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅠㅠ 저는 그럼 '%꼴'로 읽을래요
잘읽었습니다!
ㅠㅠ 감사합니다
무한소 분의 무한소 꼴.
역시 간지의 학문 수학..
한성은 선생님 어록... 결국 모든 것은 '잘난 체하기 위해 배운다'
항상 잘 읽고 있습니다 감사해요!
감사합니다, 학습에 적절히 활용하셨으면 좋겠습니다!
한성은 현장 수강생이면 개추ㅋㅋ
막줄독해 성공
ㅋㅋㅋㅋㅋ 굿