[서울대 수교과] 해설지 없이는 못 푸는 그대에게, 수II 함수의 극한(1편)

 오르비선생님들 반갑습니당~ 저는 서울대 수교과 다니는 신동성 이라고 합니다! 오늘도 칼럼 쓰러 돌아왔슴니당

 지난번 글 추천 80개받고 메인갔더라고요 이번생은 조용히 살다 가려고 했는데 역시 슈퍼스타의 기질은 숨길 수 없는것인가;;ㅋㅋ

오늘은 함수의 극한 이야기를 다뤄보려고 합니다.

함수의 극한은, 기본문제 풀기가 아주 쉽습니다. 그냥 푸는 방법을 외울 수 있을 정도로 쉬워요. 그래서 더더욱 기본개념과 원리에 대한 이해 없이 많이들 넘어가시죠. 

 그렇기 때문에 조금만 꼬아도 맞추기는 고사하고 뭔소린지도 못알아듣고 접근도 못하는 겁니다. 함수의 극한이야말로 어렵게 내면 해설지 없이는 도저히 못 풀겠고, 해설지 보면 이해는 되는데, 다음에 비슷한 거 만나면 혼자서는 또 못 풉니다.

 아마 개념 막 마치고 기출 돌입하신 분들이 제일 많이 겪는 어려움일거에요. 수많은 단원에서 그럴겁니다. 괜찮습니다. 예전에는 저도 그랬거든요. 그러니까 이 글을 클릭하신 여러분은 운이 아주 좋습니당ㅋㅋ

 답지를 보고 계산과정을 이해하는 건 누구나 할 수 있어요. 중요한 건, 왜 지금 분모가 0이 되어야 하는지, 왜 지금 분자분모를 인수분해하고 (x-1)로 약분하는지 등, “그 행동을 하는 이유” 를 아는 것입니당. 그래야 다음에 비슷한 환경에서 "아, 이러이러하니까 분모가 0이 돼야겠다!" 하고 혼자서도 풀 수 있거든요. 그렇게 머리를 굴리면서 풀면 똥구멍으로 소주 세 병 마시고 풀어도 다 풀립니당~

 그래서 오늘은, 그동안 익숙하게 해왔던 함수의 극한 계산을 왜 그렇게 해야 하는지, 맨날 하던 거 엄밀하게 살펴보기 라는 컨셉으로 준비해보았습니다. 이어서 함수의 극한 (2) 편에서는 어려운 문제들을 다뤄볼 예정이고요. 2편도 많관부그치만 귀찮으면 안쓸거임ㅋㅋ

암튼 오늘은 바로 문제로 넘어가지 않고, 아주 기본적인 개념부터 먼저 살펴봅시다.

극한을 다룰 때, 사실 대부분의 경우는 lim를 사용했을 때 바로 극한값이 나옵니다. 이를테면

 혹은  

이런 것들이죠.

또, lim를 사용했을 때 바로 발산하는 방향을 알 수 있는 케이스도 많습니다. 이를테면

 혹은  이런 것들이죠.

이처럼, lim를 사용했을 때 그 수렴값이나 혹은 발산방향을 바로 알 수 있는 것들을 확정형 이라고 하겠습니다.

한편, lim를 사용했을 때 바로 극한값이 나오지 않고, 수렴, 발산 여부도 알 수 없는 케이스도 있습니다. 이를테면

이런 것들,이런 것들이죠.

이처럼, lim를 사용했을 때 그 수렴값이나 혹은 발산방향을 바로 알 수 없는 것들을 부정형 이라고 하겠습니다.

0/0꼴, 무한대/무한대 꼴 등의 말을 들어보신 분들이 많이 계실텐데, 그것들이 대표적인 부정형입니다.

그래서, lim를 만나면 우선 lim를 사용해서 확정형인지 부정형인지 판정합니다. 그걸 꼴체크 라고 할게요.

이후, 확정형이라면 그냥 그 값이 그대로 수렴값, 혹은 발산방향인거에요. 끝입니다.

그러나 부정형이라면, 우선 부정형을 탈출해서 확정형으로 만들어줘야 해요.

이를테면, 같은 경우 인수분해해서 위아래를 (x-1)로 나눈 후 계산하실 겁니다.

이렇게 말이죠. 익숙하죠?

많이들 이렇게 해오셨을거에요. 그러나 왜 이렇게 하는지 엄밀히 설명할 수 있는 사람은 그리 많지 않을겁니다. 

이게 바로 부정형을 탈출해서 확정형으로 만들어주는 방법입니다.

위의 식에서, 꼴체크를 해보면, 분자, 분모 모두 0으로 갑니다.

그러면 0/0꼴 부정형이에요. 분자, 분모 모두 0이 되면 어디로 수렴하는지 바로 알 수 없으니까요.

그러면 여기서 문제요인은 누구일까요? 바로 (x-1)입니다. 얘가 분자, 분모를 모두 0으로 만드니까요.

그래서 문제요인인 (x-1)을 제거해줘야 하고, 그래서 인수분해를 한 후 (x-1)을 약분하는겁니다. 

그러고 나면 문제요인이 제거되어서 확정형이 되니까요.

즉, 부정형을 다루는 프로세스는 꼴체크 ->문제요인 확인 -> 문제요인 제거 인 것이죠.

이번에는 아주 쉬운 문제들을 두 개 살펴봅시다.

너무나도 많이 보신 유형이죠? 분자 0 돼야 하니까 a=4고, 그러면 (x-1) 약분해서 b=4니까 정답은 8이네요. 대부분 푸셨을겁니다.

얘도 분모 0 돼야 하니까, a+2=0에서 a=-2네요.

아주 쉽습니다. 그렇죠?

아닙니다. 이 문제에서는 a=16이에요. 이 문제의 분모는 0이 되지 않습니다.

뭐가 다를까요?

바로 22번은 확정형이라는거죠.

꼴체크를 해보면 2/(a+2)꼴에서,

1) 분모가 0이면 x의 방향에 따라 전체가 양의, 혹은 음의 무한대로 발산

2) 분모가 양의, 혹은 음의 무한대면 전체가 0으로 수렴

3) 분모가 0도 무한대도 아니면 2/(a+2)로 수렴

어느 경우든 다 lim의 결과를 바로 알 수 있는, 확정형입니다. 

1)은 발산, 2)는 0으로 수렴이니까 1/9로 수렴하려면 3)이어야 하고, 분모는 18일 수밖에 없겠네요.

위의 7번을 다시 봅시다. 꼴체크를 해보면 (4-a)\0 꼴이고, 얘는 부정형이 나와야 해요.

그런데 여기서도 분모가 0이므로 분자도 0이다 라고만 알고 계신 분들이 많은데요, 그 역시도 엄밀한 설명은 아닙니다.

분모가 0으로 가는데 전체가 b라는 상수로 수렴하므로 분자가 0인 거에요.

꼴체크를 해보면 (4-a)\0 꼴에서, 세 가지 경우가 있을 수 있습니다.

1) 4-a가 양의, 혹은 음의 무한대

    ->전체는 양의, 혹은 음의 무한대로 발산. b라는 상수로 수렴할 수 없음. 모순

       (애초에 a는 상수이므로 4-a가 양의, 혹은 음의 무한대일 수 없음. 모든 경우의 수를 늘어놓고 설명하기 위해 언급한 것)

2) 4-a=0

3) 4-a=k (k=/=0)

이때, 3)처럼 4-a=/=0 이면 어떨까요? 그러면 전체 식이 b라는 상수로 수렴할 수 없습니다.

이를테면 4-a=1이라고 해봅시다.

그러면 x가 1로 서서히 다가감에 따라 분모는 0에 한없이 가까워지지만 분자는 1에 한없이 가까워지네요. 

그러면 전체는 양의 무한대, 혹은 음의 무한대로 발산하겠습니다. (y=1/(x-1)의 그래프를 떠올려보시면 됩니다.)

즉, b라는 상수로 수렴하지 않는다는 거죠. 

문제에서는 전체가 b로 수렴한다고 했으므로, 모순입니다.

그래서 2) 4-a=0,즉 0/0꼴인 경우만 살아남고, 이게 약분돼서 전체가 b라는 상수로 수렴하는 겁니다.

여기서 포인트는, 단순히 분모가 0이므로 분자도 0 인 것이 아니라는 겁니다.

분모가 0으로 가는 와중에

가능한 모든 케이스를 다 들여다보니

그중 오직 0/0꼴만 b라는 상수로 수렴할 가능성이 있으므로 분자도 0인 겁니다.

조금 더 디테일하게 이야기하자면, 모든 0/0꼴이 다 상수로 수렴하는 건 아니에요.

이렇게, 0/0꼴은 0으로도, 0이 아닌 상수로도, 양의 혹은 음의 무한대로도 갈 수 있습니다. 

그러니까 말 그대로 결과가 정해지지 않은 부정형인 것이죠.

그렇지만, 위의 문제에서는 (무한대)/0꼴, 0/0꼴, k/0꼴 중 

오직 0/0꼴만 b라는 상수로 수렴할 가능성이 있으므로

0/0꼴인 것이고, 이 경우에만 0/0꼴은 무조건 b로 수렴해야 하는 겁니다. 그게 아니면 다른 가능성이 전혀 없으니까요.

마지막으로, 조금 어려운 문제를 보겠습니다.

2015학년도 6월 모의고사 A형 21번입니다.

지금의 시험 구성으로 따지면 22번 정도, 이 시험에서 두 번째로 어려운 문제입니다.

꼭 혼자서 한 번 시도해보신 후 따라와주세요! 그게 얻어가시는 게 훨씬 더 많을 겁니다.

0. 방향성 잡기

우선 g(5)를 구해야 하니 핵심목표는 g(x) 구하기 겠네요.

또, g(x)와 f(x)가 (나)식에서 긴밀히 연결되어 있습니다.

아마도 f(x)를 구한 후 이를 이용해 g(x)를 구하는 구조가 아닐까 싶네요.

1. (가) & (나) (n=1)

(가)에서 g(1)=0이라고 했고,

(나)에서 n=1일 때

에서, 꼴체크를 하면 f(1)/0꼴로, (분모)->0인데 (전체)-> 0입니다.

가능한 경우들을 모두 늘어놓으면

1) (무한대)/0꼴 -> 양의, 혹은 음의 무한대로 발산(모순)

2) k/0꼴 (k=/=0) -> 양의, 혹은 음의 무한대로 발산(모순)

3) 0/0꼴

아까 봤던 기초적인 문제와 같은 사고과정이 어려운 문제에도 그대로 쓰입니다.

가능한 모든 경우 중, (분모)->0인데 (전체)-> 0일 수 있는 건 오직 0/0꼴 입니다.

따라서 f(1)=0입니다.

그런데, 이 때 부정형인 0/0꼴이므로 문제요인을 제거해서 확정형으로 만들어야 합니다.

즉, (x-1)로 분자, 분모를 인수분해해서 약분해주겠죠?

그러고 나서도 전체의 수렴값이 0이라고 합니다.

그러면 약분 후에도 분자에 (x-1)이 있어야겠네요.

그러니, f(x)가 g(x)보다 (x-1)을 인수로서 적어도 하나 더 가저야 하겠습니다.

이 경우, g(x)는 (x-1)을 최소 하나 가지니 f(x)는 (x-1)을 최소 두 개 가져야 하겠습니다.

2. (나) n=2

(나)에서 n=2일 때

에서, 꼴체크를 하면 f(2)/g(2)꼴로, 특별히 아는 게 없으므로 그다지 건질 정보도 보이지 않습니다.

그러나 전체가 0으로 수렴하므로, 어떤 꼴인지는 몰라도 일단 f(x)가 (x-2)를 인수로 적어도 하나는 가져야 하겠네요.

이때, 어쩌면 g(x)도 (x-2)를 인수로 가질 수도 있습니다. 개빡치는 상황이라고 할 수 있죠.

그러면 부정형인 0/0꼴이 될 거고,  문제요인을 제거해서 확정형으로 만들고자 (x-2)로 인수분해, 약분하겠네요.

그러고 나서도 전체가 0으로 수렴하려면 약분 후에도 분자에 (x-2)가 있어야 하겠습니다.

그러려면 f(x)가 g(x)보다 (x-2)를 인수로서 적어도 하나 더 가져야 하겠습니다.

그러니까, g(x)가 (x-2)가 없어도 f(x)는 (x-2)를 가저야 하고, g(x)가 (x-2)를 가지면 g(x)는 더 많이 가저야 하니까,

한마디로 f(x)가 g(x)보다 (x-2)를 인수로서 적어도 하나 더 가저야 하겠습니다.

n=1인 케이스와 똑같은 논리적 과정, 결론을 얻었네요. 당연합니다

그러면, 둘을 종합했을 때 

이고, 더불어 g(x)는 더이상 (x-1)도, (x-2)도 가져서는 안됩니다.

이제 n=3,4를 대입해서 계산하면 g(x)도 나오고, 그러면 g(5)도 나오고 끝나겠네요.

3. (나) n=3 & n=4

끝났습니다!

참고로, 여기서도 꼴체크를 했을 때 9+3a+b나 16+4a+b가 0이면 어떡하지 하실 수 있는데, 그럴 수가 없습니다.

왜냐면 그렇게 돼버리면 전체가 양의, 혹은 음의 무한대로 발산하는데, 모순이거든요.

이상으로 오늘의 이야기는 끝났습니다.

단순히 정답 숫자를 어떻게 구했는지는 중요하지 않습니다.

꼴체크, 가능한 모든 경우를 늘어놓고 이건 왜 되는지, 이건 왜 안되는지 논리적으로 추론해가는 과정,

생각하는 방법 자체를 을 얻어가시면 좋겠습니다.

읽느라 수고하셨슴^^7

그리고 제가 오르비에서 만든 학원인 디오르비에서 무료특강 하게 되었습니당! 

하씨 조용히 살려고 했는데 역시 슈퍼스타의 삶은 힘드네요ㅋㅋ

2/26 무료특강:https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSckK1w_OSL_b_HxRZnhYQVju1Qdh_VwjvvUsx-gBcK2wxdchg/viewform

현강& 라이브 둘 다 진행하구요,

수학I 삼각함수의 활용, 수학II 함수의 극한, 연속, 미분가능성을 다루며

칼럼과 비슷한 컨셉으로 생각하는 방법을 전달드릴 예정입니다.

칼럼에는 귀찮아서 안 쓴 더 디테일한 이야기들, 더 풍성한 문제들, 수업 내용 정리한 프린트도 나눠드릴 예정이니깐요, 많관부~~

3월에는 미적분 선택하신 분들 대상으로 4주특강도 합니다.

미적분 4주특강: https://academy.orbi.kr/intro/teacher/386/l

역시나 많관부~~

지난 칼럼에서도 했던 이야기지만, 수험생활 하면서 제가 제일 힘들었던 게 해설지 없이는 도저히 못 풀겠고, 해설지 보면 이해는 되는데, 다음에 비슷한 거 만나면 혼자서는 또 못 푸는 거 였어요. 학원, 과외, 인강 없이 혼자 공부하느라 어떻게 해야 하는지 아무도 알려줄 사람이 없었고, 그래서 오래도 걸렸습니다.

비슷한 어려움 겪고 계실 분들께 도움 드리고 싶어서, 내용 자체는 핵심만 쏙쏙 모아서 열심히 썼습니다!

코로롱 걸려서 골골대면서 고생한 동성이를 위해 추천과 팔로우 해주시면 압도적감사!!

수험생활 힘내십쇼 선생님들 ㅂㅂㅂ~

*덧붙여서, 사실 함수의 극한 자체가 굉장히 러프한 단원입니다. 함수의 극한의 엄밀한 정의, 그러니까 엡실론-델타 논법은 수학과 혹은 수학교육과 전공 과목의 첫번째 벽으로서, 상당히 어려워요. 그래서 고등학생들에게는 엄밀하게 가르칠 수가 없어서 러프하게 가르치는 거고요. 

 때문에 오늘 저도 제목은 "엄밀하게 살펴보기" 라고 했지만, 엄밀하지 않은 내용들도 많이 넣었습니다. 교육이 늘 그러하듯 어떠한 내용을 핵심적으로 다룰 것인지에 따라 적정한 수준에서의 맺고 끊음이 있어야 한다고 생각하는데요, 100%의 엄밀함에 집착하기보다는 적정한 수준의 엄밀한 사고를 통해 쉬운 문제부터 어려운 문제까지 적용할 수 있는 생각하는 방법을 전달하고자 했습니다.

 0/0꼴, (무한대)/(무한대) 꼴 등의 용어들은, 물론 굉장히 많이들 쓰시긴 하지만, 수학적으로 엄밀하게 정의된 용어나 표기가 아니라는 점 말씀드립니다! 그저 여러분들께서 주어진 수학적 상황을 이해하시는 도구로서 참고용으로 사용하시면 충분합니다. 감사합니다.