삼도극 근사 칼럼(기초편)
삼각함수 도형의 극한 문제를 풀기에 앞서 명심할 점.
개씹야매풀이이므로 이해되지 않는다면 기억하지도 말 것.
생각보다 무지성 근사는 아니지만 수학 개 못하는 반수생따리가 싸지르므로 비판적으로 받아들일 것.
세타가 0으로 가는 극한문제에서만 사용할 것.
이 칼럼은 삼도극 유형을 풀기 위해 꼭 알아야하는 내용이 아닙니다.
삼도극 유형을 푸는데 제일중요한 것은 기하적인 단서를 얼마나 잘 이용하는지입니다.
단지 삼도극 유형을 조금 더 깔끔하게 풀고 싶은 분들이 보시면 좋습니다.
이 근사 내용을 어디 강사님께서 이미 가르치고 계실 수 있습니다.
근데 제가 들었던 수학 수업은 ㅈ반고 수학 선생 수업이랑 작년 뉴런, 호형훈제 작년 기출 해설강의 정도밖에 없습니다.
뒤에 나올 삼각형 길이 근사 말고는 제가 거의 혼자 생각한 겁니다.
그래서 제가 맞는 말을 하는건지도 잘 모르겠지만 대충 이제까지 기출이랑 사설 풀 때 안통했던 적은 없으니 큰 걱정은 안하셔도 될 것 같습니다.
이번 칼럼은 가장 기초적인 내용입니다.
사실 근사라고 할만한 것도 없는 내용들이라 그냥 쉽게 읽으셔도 됩니다.
진짜 근사라고 할만하고 근사로 쉽게 풀리는 건 각을 근사시켜서 0으로 가는 모르는 각을 억지로 세타로 표현하거나 직각이 아니었던 각을 직각으로 만들어버리는 방법입니다. 이 내용은 추후 작성하겠습니다.
우선 수능에서 출제하는 문제는 모두 답이 있습니다. 때문에 항상 답이 존재하게 나올 수밖에 없다는 점을 인지합시다. 이 얘기를 왜 먼저 하냐면, 삼각함수 도형의 극한 문제(이하 삼도극)는 문제 발문을 보고 풀이 과정을 유추할 수 있는 거의 유일한 유형이기 때문입니다.
이 칼럼에서 목표하는 것은 어느 정도 난이도가 있는 삼도극 유형을 간단하고 깔끔하게 계산하기도 있지만, 마구마구 남용하라는 것이 아닙니다.
시험 도중에 계산 실수해서 답이 안나온다거나 긴급한 상황에서 한가지 해결책이 될 수도 있는 방법을 소개하기 위함과 ‘노예’님처럼 삼도극문제 한 줄 컷(가능한 문제가 있고 아닌 문제가 있을 수도 있습니다)하기 위함입니다.
제 개인적으로 평가원 기출 중에서 근사풀이의 묘미는 13 9평 가형 20번, 14 예비평가 B형 29번, 14 9평 B형 29번, 15 9평 B형 28번, 18 6평 가형 28번, 19 6평 가형 16번, 19 수능 가형 18번, 21 6평 가형 28번, 21 9평 가형 28번 이정도라고 생각합니다. 어설픈 근사 쓰면 피 볼 수 있는 그런 문제들이거나, 근사를 쓰면 압도적으로 풀이가 단축되는 그런 문제들입니다. 만약 이 문제들을 손쉽게 근사로 푸는 그런 분들이라면 그냥 저 차단박고 안보시면 됩니다.
예를
들면 작년 6월 28번 문제에서 묻는 극한 식의 분모에 세타가 3개 있는 것을 보아 분자 즉 도형(이 문제에서는 도형의 넓이의 차)이 세타 3개로 나타나질 수밖에 없다는 것입니다. 이를 생각하면서(작년 현우진 뉴런 수강생이라 현우진T의 표현을 빌리면) 세타, 혹은 0인자의 페어(쌍)를 맞춰가면서 문제를 풀면 된다는 것입니다.
뭐 수험생들이 가장 좋아하는 말로 표현하면 행동강령?쯤 되겠네요.
우선적으로 알고 넘어가야할 점이 있습니다. 다음 성질은 기본적으로 많이 쓰는 것이므로 미리 알고 갑시다.
- 문제에서 묻는 도형의 값이 곱셈으로 이루어져 있다면(이하 곱셈항), 곱셈끼리 표현된 항 중에 0이 아닌 값으로 수렴하는 항은 미리 수렴시켜도 된다.
- 만약 곱셈항이 0으로 수렴한다면 0인자의 개수로 표현한다. Ex) 세타의 n제곱
- 만약 곱셈항이 여러 항의 덧셈이나 뻴셈으로 이루어져 있다면 cos과 관련있는지 확인하자. 쫄리면 그냥 삼각함수로 표현하자. 왜냐하면 1-cos으로 표현될 수 있고, sin-tan는 테일러로 표현될 수 있기 때문이다. (테일러 언급한거는 그냥 그럴수도 있잖아요? 모르면 걍 넘어가시고 아는사람도 넘어갑시다. 나중에 테일러급수랑 관련해서 삼도극이랑 생각했던 점도 정리해서 말씀드리겠습니다.)
결론은 sin과 tan는 세타로, cos은 1로 표현해도 큰 무리 없습니다. 하지만 앞서 말했다시피 곱셈항일때만!
그리고 기본적으로 알면 좋은 성질이 하나 더 있습니다. 삼각형의 세 각중 두 각이 상수*세타로 표현될 때, 두 각의 두 대변을 미리 수렴시거나 그 비를 구할 수 있습니다. 이는 작년에 남휘종 선생님께서 올려주셨던 칼럼에서 배웠습니다. 증명해보고싶은 사람은 삼각법칙을 이용해서 직접 증명하거나 오르비에서 칼럼을 찾아보시기 바랍니다. 링크 찾기 귀찮네요.
예를 들면 삼각형 abc가 있으면 각a가 a세타, 각 b가 b세타고, 문제에서 세타가 0으로 가는 극한을 묻는다면 그 당시에 각a의 대변 A와 각 b의 대변 B는 a: b로 수렴합니다. 만약 변 C가 상수로 고정되어 있다면, 또는 0이 아닌 상수로 수렴한다면, 이 값을 직접 구할 수 있습니다.
예제 1)
2013 수능 가형 29번입니다. 원래 문제에서는 CD/세타 값을 묻지만 우선 세타가 0으로 갈 때, AC값을 구해봅시다. 이 문제는 근사를 잘못 사용하면 오답이 나옵니다. 그 이유는 짧게 설명하면 AD의 극한값이 실제 고정된 값이 아니기 때문입니다.
풀이)
세타가 0으로 가고 변 C가 고정되어있으므로 변 A와 변 B는 변 C와 완전히 겹쳐질 것이므로 변 A의 극한값은 1/3 입니다. 마찬가지로 변 B의 극한값은 2/3입니다.
이 성질을 알면 종종 삼각형의 두 각이 0으로 가는 상황에서 길이를 쉽게 고정할 수 있습니다.
다음은
06학년도 9평 30번입니다. 쉬운 문제이니 방금 배운 정리들을 이용해서 풀어봅시다.
풀이)
우선 분모에는 부채꼴이 있으니 이 간단하게 4세타라는 것을 알 수 있습니다.
그리고 8-f는 삼각형 abc에서 f의 넓이를 뺀 것이니 f를 구하기보다 나머지 주변의 넓이를 위주로 구하겠습니다.
점 p에서 선분 AB에 수선의 발을 내리면 직각삼각형 2개와 직사각형 1개가 나옵니다.
이때 아래쪽에 잇는 직각삼각형(원 안에 들어있는)은 밑변의 길이가 2+2cos세타인데 이는 0이 아닌 4로 수렴하므로 미리 4로 수렵시킵시다.
이때 높이는 2sin2세타인데 이는 4세타로 수렵시킵시다.
이러면 삼각형의 넓이는 세타가 하나 들어있네요.
답을 구하려면 분자에는 세타가 1개로 표현되어야하니 잘 풀고있는겁니다.
이어서 반원에 걸쳐있는 직사각형의 가로는 0으로 수렴함을 자명히 알 수 있습니다.
때문에 우리는 쫄리니까 이건 근사쓰지말고 표현하면 1/2세타 제곱이죠. 높이는 아까 봤듯이 4세타입니다.
(여기서 잠깐! 그러면 직사각형의 넓이는 세타가 3개로 표현되는데 이는 분모의 세타 1개보다 더 많습니다. 때문에 직사각형 넓이는 0으로 없다고 쳐도 됩니다. 뭔소린지 모르겠으면 일단 넘어가세요 뒤에서 설명하겠습니다.)
그리고 위에 있는 삼각형(원 밖에 있는 삼각형)의 밑변은 2-2cos세타, 높이는 1-4세타(1로 수렴하니까 걍 1) 그러면 넓이는 1/2세타 제곱입니다.
(여기서 잠깐! 얘도 직사각형처럼 0이라 생각해도 됩니다. 0이 분자보다 많잖아요. 모르겠으면 넘어가세요.)
그러면 전체 분자는 8세타+4세타세제곱+1/2세타 제곱이 되죠? 이걸 세타로 나눈 값이 8+4세타제곱+1/2세타인데, 세타가 0으로 가는 게 알파니까 알파는 2가 됩니다.
이 내용을 생각하면서 그림에 표시만 하면, 다음 식이 자동으로 써집니다.
여기서 우리는 아까 세타가 1개보다 많았던 직사각형과 원 밖의 삼각형이 0으로 수렴함을 볼 수 있습니다.
때문에 사실 아까 첨언했던 것처럼 세타가 1개보다 많은거 보자마자 0으로 지워버려도 됬던겁니다.
논리를 적느라 길어졌는데 이게 체화되면 문제 읽으면서 식을 쓰면 답이 나오는 그런 상황을 겪게됩니다.
칼럼 처음 써보는데 힘드네요. 다음엔 이번 내용보다는 더 재미있고, 유익한 내용으로 들고오겠습니다.
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서정원 T나 남휘종 T는 사용하십니다.수업은 안들어서 모르지만 남휘종 T께서 칼럼 쓰신거 보면 그러실 것 같더라고요 ㅋㅋ
7ㅐ추 ㅋㅋ
보고 왔습니다 7ㅐ추 ㅋㅋ
감삼다 헤헤삼도극 근사가 ㄹㅇ 잘만 쓰면 풀이도 빨라지고 깔끔해져서 계산실수할 확률도 줄어드는 것 같아여
와ㅋㅋ 감사합니다