수학 문제를 풀기 위한 하나의 생각

수학 문제를 풀 때는 “단 하나의 생각”이 문제 풀이를 결정하는 경우가 많습니다.

예시를 들고 왔습니다. (2020학년도 수능 수학 가형 30번)

문제를 보자마자 “아! 공통접선”이라고 떠오르고 그에 관한 풀이 알고리즘이 쭉 떠오르면 절반은 성공했습니다. 심지어 함수의 식을 봐도 일반적인 지수, 로그함수의 평행이동입니다. 겉보기에는 너무 단순한 문제이죠. 단, 조심해야 하는 것은 공통접선을 구하는 입장에서  t는 상수입니다.  t에다가 어떤 숫자를 대입하지 않도록 조심해야 합니다.

풀이는 일반 공통접선 문제와 똑같습니다.

만약 이렇게 풀었다면 보통은 여기서 막힙니다.

우리가 풀려고 하던 방정식은 t 와 a 의 연립방정식입니다. 하지만

"아니 이 방정식에서 k를 t에 관한 식으로 표현을 해야 a도 t에 관한 식으로 표현을 하는데?"

라는 고민이 들겠죠. 어떻게 해야 할까요?

답은 아주 간단합니다. 방정식 xlnx=1 의 근을 m이라 하는 것이죠.

m이 존재하지 않으면 어떡하냐고요? 이 문제를 시험 시간에 봤다면

“당연히  m이 존재해야 문제가 풀리겠지?”라는 마음으로 넘어가야 합니다.

m의 존재 가능성은 시간이 날 때  y=xlnx 의 그래프를 그려서 확인하면 됩니다.

m이 뭐냐고요? 상수는 맞는데 우리가 알고 있는 기호로 표현이 안 될 뿐입니다.

이 생각만 했다면 남은 문제 풀이는 간단합니다.

너무 간단하지 않나요? 무슨 30번 문제가 풀이 과정이 6~7줄 밖에 안 나오나요. 그런데 이 문제의 정답률은 7%였습니다. 그 이유가 뭘까요?

중학교 2학년 내용에서부터 학생들을 엄청나게 괴롭히는 연립방정식.

학생들의 경험상 연립방정식을 푸는 가장 기본적인 방법은 소거입니다.

그런데 풀이에서 나오는 두 식을 보면

우변이 정확히 일치합니다. 여기서 소거를 참는다? 말이 안 되죠.

학생들이  이라는 식을 세우는 것은 어찌 보면 당연합니다.

하지만  (k-t)ln(k-t)=1  에서 더 이상 진행을 못 했던 것이죠. 안타깝지 않나요?

“xlnx=1의 근을 m이라 하자.” 하나의 생각만 했어도 문제가 쉽게 풀리는 것인데 너무 안타까웠습니다. 

이처럼 우리는 수학 문제를 풀 때 이런 식의 생각이 떠오르면 훨씬 더 수월하게 문제를 풀 수 있을 것입니다. 글은 이쯤에서 마치고, 수학 공부하는 학생들을 언제나 응원합니다.