수학 미분문제좀 풀어주세요

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이문제 해설을봐도 이해가안가네요.. 왜 Y=x와의 교점개수를구하는지도모르겠구요

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夢中人 [409001]

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삼수풍뎅이 · 401150 · 12/07/16 21:04 · MS 2012

a가 1보다큰건가;;

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삼수풍뎅이 · 401150 · 12/07/16 21:11 · MS 2012

저는 이렇게 풀었씁니다

일단 위 함수와 y=x가 만나는 점이 있다고하면

그점을 45도돌리면 y축위로오게디는데

그렇다면 x=0 (하나의 정의역)에서 3개의 치역(원점대칭이니 3사분면쪽에도 있겠죠)을갖게되므로 함수가 될수없으므로

위 함수는 y=x와 원점에서 접할때 a가최소으므로.....

즉 위함수의 원점에서의 접선의 기울기가 1보다 크거나 같다고 하고 풀었습니다

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삼수풍뎅이 · 401150 · 12/07/16 21:11 · MS 2012

답은 맞나요근데? ㅜ

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夢中人 · 409001 · 12/07/16 21:28

예 답은 맞아요 알듯말듯하네요. 저그래프를 45도돌렸을때 와이는 0에서 치역이 세개생긴단말인가요?(Y=x와 원점외에서만나는점이있을경우) 그리고 실수전체에서 정의된단말이 정확히어떤의미인지 ㅜ

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삼수풍뎅이 · 401150 · 12/07/16 21:42 · MS 2012

만약저함수가 원점이외에 y=x와 만나는점이 있다면 교점은 원점포함 총 3개일거아니에요(원점 대칭이니)

근데 y=x는 기울기가 1 즉 tan45도 이므로 y=x와 저함수가 만나는 점을 45도 회전하면(원점은 그대로 원점)

x=0에서 총 3개의 치역을 가지게 됩니다 이는 함수가 아니므로

위 함수는 오직 y=x와 원점에서만 만나야하고 그렇다면 a값은 저 함수가 원점에서 y=x와 접할때 최소가됩니다

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sos440 · 104180 · 12/07/16 21:05 · MS 2005

그래프를 양의 방향으로 45도 회전시키는 대신, 좌표축을 음의 방향으로 45도 회전시켜도 무방합니다. 이렇게 해서 얻은 좌표계를 새 좌표계라고 부르고, (x', y')와 같이 프라임을 붙여서 좌표를 표시합시다.

그러면 주어진 그래프가 새 좌표계에서도 여전히 어떤 (실수 전체에서 정의된) 함수 y' = f(x') 의 그래프가 되기 위해서는, 각각의 x' = t 값마다 x'좌표값이 t 가 되는 점이 이 그래프 위에 정확히 한 개가 있어야 합니다. 그리고 이를 다른 말로 적어보면, 각각의 직선 x' = t 에 대하여 이 직선과 그래프가 교차하는 지점이 정확히 한 개여야 한다는 것을 뜻합니다.

그런데 x' = t 라는 직선은 원래 좌표계에서 생각해보면 y = x - t√2 가 됩니다. 그리고 어차피 t가 임의의 실수이므로, s = t√2 로 두면 s 역시 임의의 실수를 모두 취할 수 있고, 따라서 문제 조건은 다음과 같이 바뀝니다:

임의의 실수 s에 대하여, y = x^3 + ax 의 그래프와 y = x - s 의 그래프는 정확히 한 점에서 만난다.

즉, 다르게 써 보면, x^3 + (a-1)x = -s 의 근이 언제나 한 개라는 것을 뜻합니다. 그리고 이 조건이 만족될 필요충분조건은 a-1 ≥ 0 인 것임을 쉽게 알 수 있습니다.

말이 어려워보일 수 있는데, 말로 잘 이해가 안된다 하면 무조건 손과 펜을 놀려서 그래프를 그려보시기 바랍니다. 그려보면 어떤 상황인지 훨씬 더 이해하기 쉽습니다. -ㅁ-

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夢中人 · 409001 · 12/07/16 21:30

제가 문돌이 수리호접이라 무슨말인지 몰겠네요ㅜㅜ

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이제마지막이에요 · 343391 · 12/07/16 23:33 · MS 2010

함수는 정의역 한 점에 대해서는 치역이 하나여야 하죠<

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Ezio · 355013 · 12/07/18 00:43 · MS 2010

두가지 풀이 방법으로 접근 할 수 있습니다
기본적으로 하나의 x값에 하나의 y만이 대응되어야하는 함수의 정의 에 의해서
45도 회전시켰을때 어떤 점에서의 접선의 기울기가 수직이 되면 않도
죠. 즉 회전시키기 전의 함수에서 임의의 점에서의 접선의 기울기가 45가 되면 않됩니다.
Y'=3x^2+a =/ tan45' (=1)
이 식이 임의의 x에 대하여 성립 하면 됩니다

두번째 풀이는 회전변환을 이용한 것입니다.
저문제가 아마 2001년 문제였기 때문에 당시로서는 회전변환을 이용 할 수없었죠
회전변환을 통해 x'. Y' 에 대하여 나타낸 다음 어떤x. 예를들면 x=0 을 대입하고
무조건 y값이 하나만 나오게 방정식의 조건을 구하는 방법입니다.
그 이유는 첫번째 풀이의 그것과 같습니다.

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