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물리개꿀잼 [813420] · MS 2018 (수정됨) · 쪽지

2019-07-29 04:02:19
조회수 3,164

전자기학(Electrodynamics) 칼럼-영상법에 대하여(제 1부)

게시글 주소: https://cheetar.orbi.kr/00023860198

쓰기전에 하나 드리고 싶은 말씀은 물리학을 운용하고 있는 언어들에 대한것입니다. 여러분 모두가 알고 있듯이 영어는 대부분의 고전물리학과 심지어는 현대물리학의 광범위적인 데이타베이스를 구축해 줍니다. 물리학 초기의 대다수의 발견과 성립/발전등은 뉴턴과 톰슨을 필두로 하는 영국과 유럽의 과학자들에서 출발되었기 때문입니다. 

하지만, 조금 더 깊이있고 현재에 유행하는 물리학에 대한 공부를 진행하고자 한다면 영어만으로는 조금 부족할 지도 모릅니다. 물론, 세계의 물리시장 중 가 장 큰 규모가 미국에 있기 떄문에 영어의 중요성은 아무리 말해도 부족함이 없습니다. 다만, 이에 더물어 일본어를 익히는 것도 상당히 도움이 된다는 것을 말해주고 싶습니다. 현대에 이르러는 물리학은 입자물리학을 필두로 양자역학등의 분야들이 물리학을 이끌어 나가게 되었는데, 이 중에서 입자물리학의 30%에 해당하는 지식들이 일본에서 발견되었고, 또 모델링 되었습니다. 그만큼 일본 또한 이 분야에 있어서 만큼은 방대한 데이타베이스를 구축하고 있습니다. (당연히, 일본과 미국은 서로 특화된 영역이 다릅니다....) 뿐만아니라 일본은 우리나라와 거의 동일한 고교-대학의 교육시스템/환경을 가지고 있기때문에 우리가 얻을 수 있는 가장 최적화된 형태의 데이터가 아닐까 기대합니다. (이런 시국에 이런 말씀을 올리는 것은 죄송스럽지만, 반드시 전해드리고 싶었습니다. 저도 공부하면서 느낀부분이기도 하구요....)-학술적인 면에서 보면 일본은 정말 대단한 나라입니다.  (정부는 정말 답없는 ㄱㅅㄲ지만, 학자들은 존경할 만 합니다.)


그럼 시작하겠습니다.


1. 전위의 유일성 정리

이 장에서는 전위의 몇가지 아주 독특한 성질들을 다루도록 하겠습니다. 

우리가 알고 있는 가우스 법칙으로 부터(미분형-한 점에 대한 해석은 미분형이 쉽다.)

우리의 목적은 전위의 성질에 대해 조사하는 것이므로 이 식을 전위에 대해 바꾸면, Poison's Equation을 얻습니다.

이것은 전하분포가 존재하는 각각의 임의의 점에서의 사태를 표현하는 방정식입니다. 우리의 목적은 전자기학을 끝없이 파고 들어가는 것이 아닌 대략적인 소개이기 때문에 전하분포가 없는 공간에 대한 방정식인 다음 형태의 Laplace's Equation을 가지고 놀아 볼 겁니다.(재밌겠죠?)

이 식은 굉장히 간단해 보입니다. 그죠? 하지만 여러분은 이 식때문에 골치를 좀 썩을 겁니다.


I. 언쇼정리

이 정리는 전하분포가 없는 곧의 전위는 일체 극값(Local Minimum or Local Maximum)을 가지지 않는다는 사실을 기술합니다. (사실 당연합니다. 극값이 있다는 말은 그 주위에 시험전하를 놔두면 그쪽으로 다 모이거나 다른쪽으로 퍼진다는 얘긴데, 그쪽에 전하가 있지 않고서야 그럴리가....)


당연해 보이지만 이 정리를 증명하고 넘어갑시다... 그것을 위해서는 다음과 같은 보조정리를 도입합시다.


[보조정리]-전하분포가 없는 곳의 한 지점의 전위는 그 점을 중심으로 하는 구면위의 전위의 평균치이다.

식으로 나타내면 위와 같이 쓸 수 있습니다. 이것이 이해가 되지않는다면, 다음 그림을 참고하십시오.(물리학을 공부할 때 시각화하는 연습을 하시면 많은 도움이 될 겁니다.)

자 이제 이걸 증명해 봅시다. 

                                                                                                               

이것을 증명하기 위해, 우선 다음의 벡터항등식에서 다음과 같이 치환을 시행해보죠.

또한, 여기서 프사이를 전위 V로 대치하겠다. 그렇게 되면 위의 벡터항등식은 다음과 같이 변형됩니다. 

여기서, 전위경도는 일정하고, 폐곡면 적분이 r=R의 구면위에서만 이루어 진다는 것을 잘 고려하여,

한편, 여기서 전위경도는 구의 원점으로부터의 전위경도이므로, 전위경도와 R의 내적은 원점의 전위를 의미합니다.(라플라스방정식을 만족하므로, 전위경도는 일정한 상수벡터라는 것을 명심!!!!)

따라서, 이것을 정리하면 최종적으로 원하는 바인 다음을 얻게 됩니다.

증명끝.

                                                                                                                  


이제, 귀류법을 사용해서 어디에도 극소/극댓값을 가지지 않는다고 증명할 겁니다.

따라서, 이제 전위 V의 극댓값을 V_M, 극솟값을 V_m이라고 합시다. 그럼 당연히 다음의 대소관계가 성립합니다.  그러면, 결국 이 식은 반지름 R의 길이에 관계없이 항상 극댓값보다 큰 V_S가 존재한다는 의미가 됩니다. (반지름을 아무리 작게해도 극댓값보다 더큰 값이 존재한다는 것.......)


결론: 극댓값을 가지지 않는다.


같은방법으로 극솟값도 존재하지 않는다는 결론을 얻습니다.

(증명끝.)


II. 제 1 유일성 정리

이 정리는 일반적으로 다음과 같이 쓰입니다. (여러분에게 물리용어를 익숙하게 하기 위해 원어로 제시함.)

쉽게 말해서, 어떤 한 페곡면의 전위가 정해지면 라플라스 방정식의 범위에 해당하는 모든 공간의 전위가 단 하나로 결정지어진다는 것입니다. 이해가 되지 않는다면, 아래 그림을 봐주세요.

사실 이 부분은 아주 당연할 지도 모릅니다.-아니, 아주 당연하지요.(어떤 폐곡면의 전위가 정해졌다는 말은 공간의 전하분포가 정해졌다는 말이니까요....)


하지만, 우리는 이걸 증명을 하고 넘어갑니다. 자고로 물리하는 사람이 믿을 수 있는건 식과 관측결과 뿐입니다.(물론 둘 다 못믿을 때가 가끔식 나옵니다 ㅋ)

                                                                                                                           

우선, 라플라스방정식의 영역에 해당하는 서로다른 두점을 아무데나 잡읍시다. 그러면 그 두 해를 각각 V_1, V_2라 하겠습니다. 당연히 라플라스 방정식을 만족할 거고이렇게 될 겁니다. 그러면 이제 두 해의전위가 같다는 걸 보여주기 위해 다음과 같이 보조함수를 하나 잡죠.

그러면 이제 끝난거나 마찬가집니다. V_3도 라플라스방정식을 만족 할 거고(V_1과 V_2의 선형결합이니깐....), 그럼 결국, V_3는 0이 될 수 밖에 없습니다. (앞의 언쇼 정리에서 전하분포가 없는 전위는 극값을 가질수 없기 때문이죠...) 

즉, 위 식이 성립하고 저기서 V_3는 0이 될 수 밖에 없는 겁니다. (언쇼정리때문에....) 

그래서 최종적으로 아무데나 잡은 두 해가 같다는 결론을 얻게되고, 그건 해가 유일하다는 의미이죠......(처음에 서로다른 두해라고 잡았잖아요?-by 귀류법)

증명끝.

                                                                                                                          





 *처음에는 영상법을 바로 다루려고 했지만, 그 배경지식이 더 중요하다고 생각 해서 이런 특성들을 먼저 알려준 후 2부에 영상법을 소개하는것이 더 효율적이라 생각했습니다.(영상법 자체가 제1유일성정리 그자체니까요........)




-어려워 보이지만, 별거(?) 없습니다.



서술 방향

최대 1개 선택 / ~2019-08-05

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