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물리개꿀잼 [813420] · MS 2018 · 쪽지

2019-07-27 04:41:32
조회수 3,723

양자역학 칼럼_ 기초-이론체계 1

게시글 주소: https://cheetar.orbi.kr/00023820043

여기서는 양자역학을 이루는 기초체계를 알아보자.


1. 헤르미트 연산자(Hermitian Operator)


함수의 내적은 다음과 같이 정의 된다.                                                   

또한 분명히 다음의 성질을 만족할 것이다.

(여기서 *는 헤르미트 켤레를 의미) 

이제 파동함수를 도입해 보자. 당연히 어떤 관측가능한 물리량의 평균값은 결정가능할 것이고,

다음과 같이 정의된다.

이는 얼핏보면 매우 간단해 보인다. 하지만 수학적 체계는 그러하지 않다. (결론적으로 물리적 체계는 간단해질 것이다.) 여러분들이 생각한것처럼 우리는 이 연산자의 평균치 만 알 수 있다. 왜?

당연하다. 연산자의 상태 자체를 미결정상태라고 보는것이다. 원래의 파동함수에 아무런 외적 변형을 가하지 않으면, 우리는 물질의 형태, 위치, 운동량 등을 결정 할 수 없다. 결정가능한 경우는 오직 파동함수가 무너졌을 때(The Collapsed Wave function)뿐이다. 아래그림을 보라.

위 그림은 붕괴되지 않은 상태의 파동함수이다. 보이다 시피 어디에서든지 존재할 수 있다. 반면 아래의 붕괴된 파동함수를 보라.

국소적인 경우에만 존재할 수 있다. 위치가 결정된 것이다. 하지만 운동량은 어떤가                    



파동함수의 기울기가 무한대로 가므로 운동량은 발산 함을 알 수 있다. 즉, 운동량과 위치를 동시에 잡을 수 없다.  이것이 그 유명한 위치-운동량 불확정성의 원리(하이젠베르크 불확정성)이다. 이것을 차근히 증명해 나갈 것이다.




다시 헤르미트 연산자로 돌아와라. 말하고자 하는 바는 결국 측정가능한 물리량은 실수값만을 가진다는 것이다. 즉, 다음과 같이 된다.



우리는 이런 성질을 만족하는 연산자를 헤르미트 연산자라 부른다.



2. 결정된 상태(Determined States)


이태까지 우리는 헤르미트연산자에 대하여 알아 보았다. 분명, 파동함수로는 위치를 비롯한 많은 물리량들이 보장되지는 않는다. 하지만, 유의하라!! 이것이 의미하는 것은 관측에 의한 '섭동'이 이루어 지지지 않으면, 위치/운동량 등의 물리량이 결정되지 않은 상태로 존재한다는 의미이지, 동일한 앙상블의 입자계가 같는 물리량이 변한다는 뜻이 아니다! 

즉, 동일한 앙상블의 측정을 반복해서도 물리량들의 고윳값이 바뀌지는 않는다.  이것은 다음과 같이 기술된다.


 이 값이 0이 된다.  이러한 상태를 우리는 '결정된 상태에 있다' 라고 하고 정해진 값 q를 고윳값(eigenvalue)라 한다. 그 상태방정식은 위의 식보다 더 간다하게,


라고 나타낸다. 이제 불확정성의 원리를 나타내어 보자.






3. 일반화된 불확정성 원리(The Uncertainty Principle)


앞에서 구했다 시피, 임의의 물리량의 분산은 다음과 같다.


여기서 새로운 함수 f 를 다음과 같이 정의 하자.그러면, 다음과 같은 식이 성립한다.

한편, 복소수의 기본성질을 이용하면 부등식을 더 간단히 할 수 있다.


이 형태의 식은 어쩌면 최종결과에 도달한 것처럼 보인다. 하지만 우리는 더 잘 할 수 있다. 위의 부등식을 연산자 A, B로 나타내보자. 한눈에 보기에 이것은 사태를 더 악화시키는 것처럼 보인다. 하지만 각 항들이 상쇠되어 더 간단해진다. 직접 시도해 보아라. 


결론부터 제시하겠다. 다음의 교환자 관계를 가진다.

여기서 []는 교환자를 의미한다. (이 경우, 교환자에 질문이 있는 분은 따로 질문해 주시오)









일반화된 불확정성의 원리: 이제 A, B대신 위치와 운동량을 넣으면 우리가 아는 '위치-운동량 불확정성원리'를 얻는다. 시도해 보라.

여기서 가장 중요한 것은 등호성립조건, 즉, 최소불확정성 상태를 찾아내는 것이다. (최소불확정성을 가질 때, 파동함수는 어떤 형태의 함수를 가지겠는가?)


-맞추신 분에게는 칭찬을 드립니다. 



이것으로 양자역학 기초과정 칼럼 1부를 마침니다.









예정


양자역학   칼럼        기초과정  1. 이론체계

                                          2. 기본모델

                                          3. 슈뢰딩거 방정식

                             중급과정 1. 시간에 무관한 섭동론(Time-Independent Purturbation Theory)

                                          2. WKB 근사법

                                          3. 시간에 관계있는 섭동론

                                          4. 산란이론(Scattering Theory)

                                  고급과정 1. 상대론적 양자역학-디랙의 방정식

                                                                     -전자의 스핀자기모멘트와 g-factor

                                         2. 제만효과(The Zeemann Effect)


질문은 언제나 환영입니다.



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