고1 부터 N수생 까지, 이과 수험생을 위한 모든것. 수학편

0. 들어가기에 앞서

글의 특성상 객관성을 띄기 위해 딱딱한 분위기로 글이 작성되었고, 그에 따라 반말로 작성된 점에 대해 미리 양해를 구한다.

사실 존댓말로 해보려다가 도저히 못하겠어서 그냥 반말로 쓴다. 괜히 존댓말 한번 써보겠다고 필체 바꿨다가 오글거려 죽는줄 알았다. 사람은 안하던 짓을 하면 죽는다는 말이 오글거려 죽는다는 뜻이었나보다.

이 글의 순서는 다음과 같다

1. 수능전사? 수시? 수능?

2. 수능이란?

3. 나는?

4. 국어

5. 수학

6. 우선순위

7. 모의고사?

8. 수능 30일 전

9. 수능 7일 전

10. 수능 1일 전 - 실전 편

11. 그 외에 더 하고 싶은 말들

원래는 욕심이 좀 과해서 열심히 하기는 했으나, 별 관심 없는 과목에 대해서도 공부법을 다루려 했었으나, 그렇게 많은 내용이 나오지는 않을 것 같아 생략했다. 딱히 관심있어들 하지 않을 것같기도 하고. 그래서 혹시나 궁금해 하는 사람들이 많다면 11에서 간단하게 다루기로 하고, 영어나 과학, 한국사파트는 생략한다.

이 글에서는 6번에 해당하는 내용을 다룬다.

6. 수학

어디부터 이야기를 꺼내야할지 감도 안왔다. 너무나도 중요하고 또 중요하다. 영어 절평에 국어가 통합된 지금에 와서야 수학이 모든 걸 판가름한다 해도 과언이 아니다. 수능이 진짜수학능력평가라고 불려도 문제가 ㅇ벗을만한 세상이 왔다 이말이다. 추리고 추려서 그냥 딱 중요한것만 썼다.

1. 나는 어떻게 공부해야할까?

+ 21, 29, 30?

++ EBS 연계?

6.1. 나는 어떻게 공부해야할까?

수학은 왜 해야하는가는 그닥 중요하지 않다. 굳이 왜냐고 물어봤을 때의 대답은 간단하게 말해서 "니네 수학적으로 얼마냐 똑똑하냐?" 를 묻는 거다.

세상은 왜 수학으로 사람을 판단하나! 싶어서 좀 빡치긴 하겠지만 별거 없다. 국어과목에서 물어봤던건, 얼마나 잘읽니? 고 수학에서 물어보는건 당연히 머리 얼마나 잘 굴리니? 일 뿐이다. 정해진 시간내에 주어진 문제를 잘 풀어내는가, 실수 없이 제대로 계산할 수 있는가, 문제를 잘 읽을 수 있는가. 그런 것들은 이미 준비편에서 다룬 내용이다. 당연히 수학에도 적용 되어야 한다. 수학은 왜 해야하는가나 본질적인 것을 따져 묻기에는 너무나도 할일이 많다. 그럼 우리는 바쁜 와중에 뭘 가장 먼저 해야하는 것일까?

기준을 제대로 세워서, 제대로된 공부를 해야한다.

사실 성적은, 수능치기 전까지는 정말 의미없다. 수미잡이란 말은 그런 의미인 것이다. 수능 공부를 ㅈㄴ게 해서 6평 만점, 9평 만점을 받아도 수능에서 80점 맞으면 너는 상위권 대학을 갈 수 없다. 제대로된 공부는 운좋게 100점을 맞는 공부가 아니라 어떤 상황에서도 100점을 받을 수 있도록 만드는 공부이다. 성적은, 가끔 시험 칠 때 내가 열심히 하고 있구나를 직접 눈으로 보기 위한 수단으로만 생각하자.

그럼 어떻게 공부해야할까?

수학에서 중요한 것은 개념을 잘 알고 있는가, 그 개념을 문제를 보고 떠올릴 수 있는가이다. 따라서 각각의 시험 범위에 해당하는 개념들을 충분히 쌓고, 문제를 푸는 능력을 길러야한다. 그렇지만 문제푸는 응용능력도 중요 하지만, 기본적으로 개념 또한 중요하다. 만약 수능에 있어서 필요한 개념이 100이라고 할때, 본인이 완전히 알고있는 내용이 80이라면. 응용능력이 100점이라 해도 80점 정도의 점수밖에 낼 수 없다.. 반대로 개념을 달달 외워서 모르는 개념이 없다고 하더라도, 응용능력이 50점이면 50점 정도의 점수밖에 못 받는 것이다. 따라서 두마리 토끼를 잡을 수 있는 제대로된 공부법이 필요하다.

서론이 길었다.

First. 개념 공부법.

본인이 정말 모르는 개념이 없다, 또는 완벽하게 모든 개념들을 까먹지 않을 만큼 잘 알고 있다면 넘겨도 좋다.

중학교 수학 내용을 모르는 사람 학생들 또한 여기 포함된다. 대부분의 수험생들이 모든 개념을 완벽하게 익히고 있지 않다. 문제 응용능력도 중요하지만, 기본적인 개념을 완벽히 이해하고, 암기하고 있어야 한다는 것을 말로들어서 알고 있다고 생각하지만, 실제로 그 부족한 개념을 매꾸기 위해, 중학교 수학 교과서부터 고3 참고서를 쥐잡듯이 뒤져본 사람은 적을 것이다. 

본인이 가끔 운이 좋으면 100점, 96점을 맞지만, 때때로 문제를 보다가 필요한 개념이 뭔지 몰라서 틀리는 경우가 제일 무서운 경우다. 나는 상위권이라고 생각하지만, 수능 때 이런사람들은 거의 무조건 걸러진다고 보면 된다. 따라서 하루 날잡고, 내가 뭘 모르는지 진지하게 판단해보는 과정이 필요하다. 고1,2 학생들은 중학교때 기초수학부터, 지금까지 배운것들을 다 점검해보자. 솔직히 중학교 교과서 찾는 거 정말 쉽다. 부모님께 엄마 저 교과서 사게 돈좀주세요 하면 안줄 부모님이 없다. 거기 나온 모든 개념을 제대로 알고있는지 샅샅히 뒤져봐라. 정말 단 하나도 모르는게 없으면 안된다. 

그걸 그자리에서 다 외워버리라는 건 아니다. 일단 모르는 걸 찾았으면, 노트를 하나 사서 적어놔라. 노트에 적고 수학 공부하기전에 한번씩 보면서 응용도 해보고 외울 수 있도록 해야한다. 완전히 이해하고, 내것이 될 수 있도록 외우도록 하자. 영어 단어장 보듯이, 국어 문학작품 어휘 암기하듯이 수학공식도 개념이 완벽히 준비가 되어있어야 한다. 딱 하루 투자하자, 이 짓을 매일 하라는 것도 아니고 그냥 하루 날잡아서 모르는 것만 확실히 적어두자는 거다 절대 시간낭비도 아니고 손해보는일도 아니다. 시작이 반이다. 제대로된 시작점을 잡는다면, 수학 공부법에서 반은 이룬 것이나 다름없다.

질문1. 진짜 수능에 안나올 것 같은데 꼭 해야하나?

그래서 교과서를 보라고 한거다. 현행 교육 과정에서 사용되는 교과서들로 수능 문제를 만든다. 쏀이나 자이스토리에서 문제가 나오는 게 아니다. 교과서에 나온 개념이라면, 수능에 안나올 것 같아도 나온다. 시험범위에 있는 모든 교과서에 나온 모든 개념을 그냥 달달 외우고 있다고 생각하자. 내신도 그렇다. 시험범위 싹다 공부하고 달달 외워온 애들은 마음이 편하다. 자신감이 있다. 그렇지만 덜 공부한 애들은 불안할 수 밖에 없다. 물론 시험점수를 포기했다면 얘기는 다르지만. 어쨌든 교과서는 다 보자.

질문2. 나는 개념공부가 하나도 안되어 있어서 처음부터 해야할 것 같은데 개념공부를 어떻게 해야할지 모르겠다. 추천할 만한 참고서가 있나?

과외를 구하던지, 잘 가르친다고 소문난 인강강사하나 잡고 처음부터 달리자. 추천하는 것은 인강강사. 개념가르치는데 인강만한게 없다. 다들 정말 잘하신다. 돈이 있다면 아끼지 말고 투자해라. 요새는 프리패스 이런것도 있어서 SKY들어가면 100%환불 이런것도 있더만. SKY 충분히 들어가니까 꿀빨자. 

솔직히 혼자 잘하는 애들도 자기 필요한 인강 찾아서 잘 쏙쏙 골라서 혼자 잘 한다. 잘할 애들은 교과서만 봐도 개념공부는 충분하긴 하다. 만약 그런 케이스가 아니라면 왠만하면 인강 듣자. 인강만큼 잘 가르치는 참고서 없다. 그러니까 그 돈 받으면서 가르치지. 본인은 독학이 가장 효율적인 공부법이라고 생각하지만, 인강 강사분들은 가르치면서 먹고사는 사람들이다. 1타강사라는 이름이 허세가 아니라는 거다. 들인 시간이 다르다 믿고 따라가도 좋다.

추천할만한 참고서는 수능의 정석, 쏀 정도. 가장 중요한 것은 교과서.

사실 그냥 주변에서 좋다고 하는거 해라. 소문난 참고서는 이유가 있고, 대부분의 학생들에게 필요한 건 완벽한 참고서가 아니라 꾸준히 하려는 태도다.

질문3. 진짜 너무 외우기 싫은 공식들이 있다.  꼭 외워야 할까? 그냥 안하고 넘어가면 안되나? 진짜 너무 안외워진다.

꼴보기 싫은 사람이 있더라도 매일 쳐다보면 정든다는 말이 있다. 싫어하는 공식도 매일 하루에 한문제씩 풀어가면서 외우다보면 나중에는 친근해진다. 농담이 아니라 진심이다. 간단한 개념으로 만든 간단한 기초문제 하루에 하나씩 푸는거 5분도 안걸린다. 하루 5분 1주일이면 장담컨데 그 공식으로 노래를 부를 수도 있을 것이다.

Second. 문제 공부법

개념을 익혔으면 응용을 할 줄 알아야한다. 평가원이 어떤식으로 문제를 내는지, 어떤 개념을 중요시 여기는지 알고, 그에 맞추어 응용법을 알아야한다. 그것을 기출을 통해 익힐 수 있다. 평가원의 문제 출제 방식을 통해 응용능력을 키울 수 있다. 그러나 그냥 풀기만 하면 안된다. 풀다보면 개념을 다 알고 있음에도 불구하고, 막히는 문제가 있을 것이다. 왜 문제 풀이법이 떠오르지 않았는지를 생각하고, 고민해보자. 

이번 6월 평가원 가형 30번을 한번 예로 들어 보자.

겁먹지 말고 한번 보자.

g(t)는 대부분 고3 수험생들이라면 다들 유도해낼 수 있을 것이다. 그러나 이 문제에서 뭘 평가하고 싶은 것일지 알아야한다.

평가원이 묻고싶은건 기본 개념도 있지만, 추론 능력또한 중요시한다.

문제에서 준 조건은 항등식과, 적분값과 함숫값을 하나씩 줬다.

적분값에 ln이 들어갔다는 것은 f(x)나 g(x)가 함수 e^x나 lnx와 관련이 있다는 것이다.

e^x의 적분, 미분형태는 e^x 이고, lnx는 적분하면 xlnx-x, 미분하면 1/x 이다.

f(x)를 적분했을 때 ln값이 나오는 것으로 보아 f(x)는 1/x 와 관련이 있지 않을 까 하고 막연하게 떠올려 볼 수 있다.

g(t)는 f(x)의 접선과 연관되어 있으므로 g(t) 또한 lnx 나 1/x 와 연관 되어 있을 것이다.

이러한 연관성을 막연히 생각하고 항등식을 보면 양변을 (1+t^2)으로 나눴을 때,

적분하면 우변이 우연치 않게도 ln(1+t^2)+c 로 깔끔하게 적분이 된다는 것을 확인할 수 있다.

좌변은 t~t+1 까지 g(t)를 적분한 함수가 된다.

이후 풀이 과정은 단순 계산의 반복이라 생략한다.

g(t)의 적분식을 유도하는 과정에서 심각한 비약이나 말도 안되는 발상을 한 것이 있는가? 아니다. 개념만 충분 하다면, 고등학생 수준에서 충분히 할 수 있는 발상이다.

평가원은 과한 발상을 요구하지 않는다. 기본적으로 알고있는 개념을 기반으로 해서 풀이를 잘 추론해 낼 수 있는 가를 판단하는 것이기 때문에 그렇다.

물론 과한 발상을 요구 하는 경우가 가끔 있긴 한데, 그래도 열심히 공부하면 할 수 있는 정도니 평가원 믿고 열심히 공부하면 된다.

풀이 과정에서 떠올리지 못한 발상이나, 개념이 있다면 왜 못떠올렸는지, 뭐가 부족했는지 스스로 고민하고, 그 부분을 잘 짚어서 공부하면 된다.

문제 풀이는 틀리고 답을 확인하고 풀이를 보고, 감탄하고 끝이 아니다. 내가 왜 이 풀이를 왜 못 떠올렸는가를 고민하고, 해낼 수 있도록 노력하는 과정이 바로 문제 풀이다. 하위권이고 상위권이고를 불문하고 모두가 이 과정을 필수로 한다.

Final. 실수 해결법

가장 끔찍한 것은 실수다. 인간은 컴퓨터가 아니다. 완벽에 가까운 계산을 해내는 컴퓨터도 가끔 렉이 걸리고 오류를 일으키는데, 사람 또한 당연히 실수를 한다. 숫자를 잘못 보거나, 졸려서 딴생각을 했다거나, 계산 실수를 했다거나. 문제를 잘못 읽었다거나.

본인은 정말 정말 정말 실수를 많이했다. 그래서 실수를 해결하는데 반수기간의 절반을 썼다 해도 과언이 아니다.

그 실수를 해결하는 기본적인 방법은 바로 오답 노트다.

앞서 개념 공부법과 문제 풀이 공부법에서 모르는 걸 적고, 발상을 왜 못 떠올렸는지를 고민하라고 했듯이, 실수도 왜 실수했는지 어떻게든 떠올리는 게 중요하다.

오답노트는, 정말 정말 정말 정말 정말 정말 정말 정말 정말 중요하다.

적고 다시보면 너무나도 좋은데, 적기만 해도 효과를 본다.

아니 ㅅㅂ 이걸 왜 틀렸지? 하고 고민해보고 와 진짜 어이없게 틀렸네 적어놓고 다신 실수 안해야겠다 라고 곱씹어 보기 때문에 그 실수를 더 오래 기억하 수 있다.

계산실수를 했다. 왜 했지? 덧셈에서 계산실수를 했다면 어떤 계산실수를 했는가? 50+60을 더헀는데 100으로 계산했는가? 그럼 앞으로 50이랑 60을 더했을 때 110이라는 걸 어떻게든 기억해내려고 노력하겠다고 적어라.

6!을 120으로 햇갈렸는가? 그럼 구구단 외우듯 외워라. 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720.

오늘 너무 피곤해서 실수를 많이 했는가? 그럼 피곤할 때도 실수하지 않을 수 있도록 달달 외우도록 하자.

그게 실수의 해결 방법이다. 하다보면 기억을 하고, 경험이 쌓이기 시작하면 머리로 푸는게아니라 손이 푼다. 손이 기억하고, 본능이 기억한다. 그게 되도록 실수노트에 적어라. 실수는 습관때문에 나오니 악습이 나오지 않도록 계속 계속 더 좋은 습관으로 덧 씌우는 것이다.

+ 21,29,30?

21,29,30은 도저히 못풀 것 같은데 공부 해야하나요? 라는 질문글을 꽤 많이 본다. 실제로 21,29,30은 풀지 않겠다, 당연히 틀린다, 라고 못박아놓고 공부하는 학생들도 많다. 그러지 말자. 수능이 한 세달쯤 남았으면 모르겠는데 그럴 필요 없다. 제대로 공부하면 21,29,30충분히 풀수 있다. 날잡고 정말 어려운 30번 문제를 이해해보려고 해보자. 하루내내 걸린다고 쳐도 충분히 풀 수 있다. 2~3시간을 잡아도 정 안풀리면 답지를 보고, 풀이를 이해한다음 왜 못 떠올렸는지 생각해보고, 답지를 안보고 한번 풀어보라. 아니 이걸 왜 못 떠올렸지 라고 생각할 수 도 있고, 직접 풀어보면 그 풀이가 자기 것이 되는 걸 느끼기도 한다. 그런 경험들을 반복하다보면 어느샌가 30번을 스스로 풀어내는 경험을 하는 날도 온다. 하면 정말 다 된다. 정 안되면 내가 책임진다. 물어보면 하루 날잡고 도와 줄 수 있다.

+ EBS 연계?

수학은 정말 단 1도 EBS 연계가 안되는 과목이라고 생각 했었는데 그렇지만도 않다.... 만은 사실 EBS 연계가 그렇게 중요하지는 않다. 개념 쌓고 실수 챙기고, 문제 풀이 체화하기도 바쁜데 거 쥐뿔만큼 체감되는 EBS연계 준비할 시간이 어딨나 싶겠지만, 개념공부를 혼자하는 사람이라면 EBS로 하는 것도 추천한다. 물론 EBS만하라는 건 아니고, 시간 많이 남으면 다른 참고서 준비하면서도 EBS연계도 준비하면 나쁘지 않다는 것이다. 체감 정말 잘 된다. EBS 국어 문제와 달리 수학 EBS는 개념공부하는데 꽤 도움이 되는 것들이니까 1회독 정도는 해두는게 좋다. 남들 2~3회독 하는데 혼자 1회독 하면 불안하기 때문에 시간도 많이 남고 공부량이 충분하다면 2회독 까지도 할만하다. 3회독 부터는 비추, 기출이나 하자.