곡선 위의 점의 접선 해설 & y=|x|는 왜 x=0에서 미분 불가능할까?
안녕하세요. 일반청의미입니다. 즐거운 설 명절 보내세요!
설명절날 이런걸 올리는 기분이 좋지는 않은데.. 하여튼
이 칼럼은 이 글에 담긴 생각을 바탕으로 쓰게 되었습니다.
공부의 양은 어떻게 정할까? : http://orbi.kr/0008692499
공부의 양은 생각의 양과 같고, 생각과 고민은 질문에서 나옵니다!
공신 방송 다녀온 후기 & 수학 칼럼 연재합니다. http://orbi.kr/00010768917
가장 쉬운 방식으로 개념을 이해해야해요 : http://orbi.kr/00010794675
이차방정식의 해법 해설 + 평행이동할때 왜 점은 +a인데 그래프는 -a일까? : http://orbi.kr/00010789384
저번주의 칼럼은 바로 이거였어요!
평행이동 해설 & 어떻게 곡선 위의 점의 접선은 한 점으로 정의될까? : http://orbi.kr/00010841663
해설 갑니다. 먼저 교과서를 볼게요!
여기에서, a와 다른 값을 가지면서 a에 한없이 가까이 간다는 것에 집중해주세요!
요약하자면 극한이라는 것은 가까이 다가가는 것을 뜻하므로,
좌변의 이미지를 가까이 다가가는 상태라고 생각하면 됩니다.
우변의 이미지는 그 가까이 간 표적이라 생각하시면 충분히 이해가 될거에요!
극한을 가까이 다가가는 것으로 배웠습니다. 그렇다면 그 이미지를 충분히 그려둘필요가 있죠.
이번주 주제는 좀더 실전적인 주제를 들고왔어요!
Q: y=|x|는 직선 y=0이 한점을 스치고 지난다.
한점을 스치며 지나는 직선이 존재하는데
왜 x=0에서 미분 불가능할까?
그림도 수작업..ㄷㄷ
이번주에는 추가적으로 더 생각해볼 문제가 있어요.
2015학년도 수능 수학 B형 30번
2017학년도 9월 평가원 수학 B형 30번
이 두 문제를 풀기위해서 생각해야할 아이디어가 뭘까요?
왠만하게 열심히 공부했다면 계산이 어려워서 막히는 경우는 거의없습니다. (계산실수 빼고요)
중요한건 아이디어죠! 문제를 풀기위한 아이디어가 필요합니다.
아이디어는 개념에서 나옵니다. 도대체 어떤생각을 가져야할까요?
역시 답은 다음주에!
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흠... 절댓값 기호가 나오는 순간 반사적으로 양수와 음수인 부분으로 나눠서 생각하는건가요?
네 맞습니다! 근데 좀더 다른 표현없을까요?
[구간] 개념과 관련있는걸까요?음.. 질문에 대한 답은 접선의 정의로 어떻게든 해설하셔야하구요.
문제에 대한 아이디어는..
왠만하면 우리가 배우는 다항함수나 지수함수 로그함수
기타등등.. 모두 정의역구간에서 미분 가능한 함수에요!
저거 우리학교 서술형 1번이었나 흠
물론 단순히 IxI는 아니지만
ㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎ세상에
답이면 ㅍㅍ 해달라고 요청할수도있음ㅋㅋㅋ
근데 사실 쉬운문제에요!
???
X=0에서미분가능하다<=>lim x->0 ㅣxㅣ/x 이 존재한다
인데 극한이존재하지않으니 미분불가능이죠 귀류법에의해서
그러니까, 미분불가능하다면 접선의 기울기가 존재하지 않는다는거죠
왜냐하면 우리는 미분계수가 접선의 기울기라고 배웠으니까
그렇다면 저 그래프에서 y=0은 접선이 아닌걸까요?
접선이라면 왜 미분계수는 존재하지 않는걸까요?
물론 접선의 정의가 할선의 극한인건 조금만 조사하면 알수있는 내용입니다.
하지만, 접선 교수방안 연구 논문을 조금 찾아보시면, 그 원인이 원의접선에서 형성된 정의때문이라는 것을 알수 있어요.
그렇다면 원의 접선에서 형성된 '한점을 스치고 지나는 선'으로 해석해도 모순임을 보이면 되는거에요
그후 할선의 극한으로 확장하면 되지않을까..! 라고 생각합니다.
0승9패님의 덧글이 떠서... 답변해드립니당
접선은 접하는 벡터이기 때문 아닌가요? 항상 접선은 그 점에서 함수가 진행하는 방향인 벡터이어서 y=0은 절댓값함수의 접선이 될 수는 없는것 아닌가요? 그냥 지나가는 재수생의 매우 짧은 소견입니다
벡터라니.... 음..
접선은 접하는 벡터이다.. 교과서어디에 서술되어있나요?
그냥 평균변화율의 극한값으로 정의했는데 극한의 핵심은 좌우 극한값의 수렴여부. ->평균변화율의 좌극한값과 우극한값이 수렴하지 않으므로 존재하지 않는 것이죠. y=|x| 의 0에서의 평균변화율의 극한값은 좌극한 값 = -1 우극한 값 =1.
흔히들 slang으로 좌우미분계수라 하시는...
좋은 설명입니다. 그것이 교과서적 설명이죠.
다만 애매하기는 합니다. 저 그림에 대한 설명으로는 부족해요
아 질문 이해함. 그니까 예를 들어 y=x^3을 y=x에 대하여 대칭시킨놈은 x=0에서 평균변화율의 극한값이 발산하므로 미분불가능 하지만 x=0은 이놈에게 접하는 직선이죠. 근데 y=|x|는 x=0에서 접선이 없죠. 같은 미분불가능 점인데 접선의 유무에 대한 고찰 맞나요? 질문 잘 이해함? 칭찬좀
그럴 의도는 아니었는데, 그것에서 조금 더 나가면 생각이 될것같네요.
결국 목적은 어떻게 할선의 극한으로써의 접선을 설명하는가.
이거에요.
갓마담님..
반가워요ㅋㅋㅋ올해 님 모의고사 나오면 열심히 사서 풀 계획
저런 사고라면
첨점에서의 접선은 셀 수 없이 많겠네요
사실은 없는데 말이죠
http://orbi.kr/00011115763
그냥 극한의 개념자체가 무한히 다가가는 것일뿐 그 수자체가 아닌 건데
아무리 x=0서 (글쓴이님의 표현을 빌리자면) 스치며 만나는??.. 직선이 있다한들
그점이 되지는 못하니,
미분계수 즉 접선의 기울기가 1, -1 두값밖에 못나온다.
이렇게만 설명하면 되는 것 아닐까요?..
스치며 만난다는 표현도 좀 위험한것같네요..접접에서 공통접선이 존재해야만 '접한다' 라고 하는 것인데
스치면서 만난다? 좀 중의적인것 같네요..
공통접선이 존재해야만 접한다는 말은 교과서에없습니다.
우리가 처음 접선의 개념을 배울때는 중3의 원의 성질에 대해서 배울때입니다.
곡선 위에 한점을 지나는 직선. (스치며 지나는직선)
이것이 접선의 정의이며, 이차함수때까지 이렇게알고 넘어갑니다. 물론 이차함수에서는 판별식 D를 이용하는데, 결국 곡선위의 한점을 스치며 지나는 직선으로 해석합니다.
물론 접선의 정의는 곡선위의 한점을 지나는 직선이 아닙니다.
할선의 극한으로 이야기합니다만, 미분계수를 배우기전까지는 언급할수없어요.
극한의 개념 자체가 무한히 다가가는것. 맞아요
그 수 자체가 아니지만 극한값이 존재한다면 유추할수있습니다.
글쓴이의 설명대로라면 그림은 그려질수있지만
실제는 아닙니다라는 결론이 되지않을까요?
아무것도 모르겠다ㅜㅜ
잉....ㅠㅠㅠ 좀더 쉽게 수정해볼까요
윽 아니에요 제가 바보같네여..
ㄴㄴ 아님. 제가 설명을 못하는것일수있음
좋은 글이네요
수험생땐 그냥 그렇겠지 하고 넘어갔는데
지금보니 어렵군여
특히 미분계수의 논리를 이해하는데 어려워하는 학생들이 많아요
접선의 개념이 확장되는 단원이기 때문에 그런건데,
교과서에는 이 확장을 잘 설명해주지 않고있죠.
하여튼 이러한 어려움은 생각으로 극복해야해요
한번 해보려고 합니다.ㅋㅋ
좋은글입니다! 그런데....2017년은 B형이 아니라 가형입니다....ㅋ
헣.. ㅋㅋㅋㅋㅋ 이미늦음
혹시 조합 칼럼있나요 그림으로 하는 ..
으어어어어어ㅓ어엉어어.... 나중에..ㅠㅠㅠㅠ
도함수의 연속성
또는 도함수에서의 접선?
에라 모르겠다 새벽에 막던지고 갑니다 ㅋㅋ
도함수에서의 접선잼..!
미분가능하려면 좌우미분계수가 같아야되는데
h>0+와 h>0-가 서로 다르기 때문이죠
접선은 그래프 위의 두 점을 지나는 직선의 극한값이므로 존재하려면 좌극한 우극한이 같아야 합니다.
이 경우에선 원점과 움직에는 점을 이은 직선의 극한값이 접선인데 움직이는 점이 왼 쪽에서 올 때와 오른 쪽에서 올 때가 접선이 다릅니다. 따라서 극한값인 접선이 존재한다고 할 수 없습니다.
할선의 극한에 대한 정의를 설명해주신듯 합니다.
감사합니다. 좋은 설명입니다.
청의미님
답 공개좀 해주세요 은근히 궁금하네요 ㅋㅋ
아마 내일이나 모레쯤에 올릴듯합니당.ㅎㅎ
http://orbi.kr/00011115763
청의미님, 혹시 제 설명이 맞나 봐주실래요???? 미분계수라는건 극한값이기 때문에, 미분계수가 존재하려면 미분계수를 정의하는 극한값(평균변화율의 극한값)이 준재 해야되거 그렇게 되려면 좌극한(좌미분계수)와 우극한(우미분계수)가 서로 같아야되는데, y=|x| 함수에서의 x=0 미분가능성 응 조사하려면 그 지점애서의 미분계수가 존재하는지 확인해야 되고, 결국 x=0라는 한 정점을 잡고 광장히 작은 실수 h를 x=0 오른쪽에 배치해서 평균변화율을 만든다음 그 h를 0으로 보낸 순간변화율과 , h를 x=0 좌측에 배치해서 평균변화율을 만든다음 그 h를 0으로 보낸 순간변화율이 서로 달라서 미분붕가능한거 아닌가요!!
네 맞습니다. 다만 우리는 극한값이 존재하지 않는다는것을
그 값이 될 후보가 매우 많아 정의하기 어렵다로 배웁니다.
이것을 잘 생각해보시면 연결지을수 있을겁니다.
그 다음칼럼 보시면 어떻게 할선의 극한이 한점을 스치며 지나가는 선이라고 할 수 있는지를 보게될겁니다.
아 감사합니당 ㅎ
수락공부를 한창 열심히 하고 잇는데.... 고과서에 있는 증명을 다 할필요가 있을까요??
그리고 공부 할때 이 개념이 왜 중요하지? 문제에 어떻게 쓰일 수 있을까? 이렇게 고민하라고 하셨는데,
사실 거기에 대한 답은 기출문제를 분석하면서, 각문제에 개념을 적용시키면서 깨달을 수 있는 거 아닌가요?
그 다음 개념에도 개념이 쓰입니다.
그러면 그 다음 개념을 공부할때 어려움이 있게될거에요.
단원별 문제집을 풀때는 이게 부족한지 모릅니다.
하지만 진짜 실제로 시험을 볼때 느끼게될거에요
원래 개념을 확실히 하고 넘어가는게 가장 이상적입니다.
다만 그렇지 못할때는 그렇게 해야하는데
열심히 하셔야할겁니다. 그러다가 개념에 구멍생김
오오 답글달렷내 왜 알림 안울려 ㅡㅡ 헐..정성스런 담글 ㄱㅅ
기본이지요 ㅎㅎ
왠만하면 다하는게 낫습니다. 기출문제 풀때 그 개념을 적용했는지 아닌지 헷갈리거든요